Question

如圖，四邊形OABC為直角梯形，A、B、C的坐標分別為（4，0）、（4，4）、（2，4），DEFG的邊長為4的正方形，D、G在x軸上，當點D與點O重合時，此正方形開始向右運動；當點G與點A重合時，運動停止，設OD=x，此正方形和直角梯形重合部分的面積為S，回答下列問題：
（1）求x的取值范圍；
（2）求tan∠COA的值；
（3）當x=2時，S=

 

；當x=4時，S=

 

；當x=6時，S=

 

；
（4）求S與x的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）根據點A的坐標和正方形DEFG的邊長，即可求得x的取值范圍；
（2）作CM⊥OA于M．根據矩形的性質和銳角三角函數的概念即可求解；
（3）分別正確畫出對應的圖形，根據圖形的面積公式進行計算；
（4）根據（3）中的三種情況即可建立分段函數．

解答：解：（1）∵點A的坐標是（4，0），DEFG是邊長為4的正方形，
∴x的取值范圍是0≤x≤8．
（2）如圖，作CM⊥OA于M．
則CM=AB=4，OM=OA-BC=4-2=2．
∴tan∠COA=2．
，

（3）如圖1，當x=2時，則S=2×4÷2=4；
如圖2，當x=4時，則S=（2+4）×4÷2=12；
如圖3，當x=6時，則S=2×4=8．



（4）當0≤x≤2時，則S=

1

2

•x•2x=x²；
當2＜x≤4時，則S=

1

2

(x-2+x)×4=4x-4；
當4＜x≤6時，則S=-x²+8x-4；
當6＜x≤8時，則S=4（-x+8）=-4x+32．

點評：此題綜合運用了直角梯形的性質和正方形的性質，特別注意解決動態的問題時，要畫出一種符合條件的靜態時的位置進行分析．