Question

【題目】模型建立：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．

（1）求證：△BEC≌△CDA；
（2）模型應用：
①已知直線l1：y＝－ x－4與y軸交于A點，將直線l1繞著A點逆時針旋轉45°至l2 ， 如圖2，求l2的函數解析式；
②如圖3，矩形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為（8，－6），A、C分別在坐標軸上，P是線段BC上動點，設PC＝m，已知點D在第四象限，且是直線y＝－2x＋6上的一點，若△APD是不以點A為直角頂點的等腰Rt△，請求出點D的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，∴CB＝CA，又∵AD⊥CD，BE⊥EC，∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD＋∠BCE＝180°－90°＝90°，又∵∠EBC＋∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ACD與△CBE中， ，∴△ACD≌△EBC（AAS）
（2）解：①如圖1，過點B作BC⊥AB于點B，交l2于點C，過C作CD⊥x軸于D，

∵∠BAC＝45°，∴△ABC為等腰Rt△，由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直線l1：y＝－ x－4， ∴A（0，－4），B（－3，0），∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，∴OD＝4＋3＝7，∴C（－7，－3），設l2的解析式為y＝kx＋b（k≠0），∴ ∴ .

∴l2的解析式：y＝－ x－4.

②當點D位于直線y=2x-6上時，分三種情況：如圖2，

1）點D為直角頂點，分兩種情況：當點D在矩形AOCB的內部時，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設D（x，2x-6）；則OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x；則△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：12-2x=8-x，x=4；∴D（4，2）；

當點D在矩形AOCB的外部時，設D（x，2x-6）；則OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x；

同1可知：△ADE≌△DPF，∴AE=DF，即：2x-12=8-x， x= ，∴D（ ）

2）點P為直角頂點，顯然此時點D位于矩形AOCB的外部；設點D（x，2x-6），則CF=2x-6，BF=2x-6-6=2x-12；

同（1）可得，△APB≌△BDF，∴AB=PF=8，PB=DF=x-8；∴BF=PF-PB=8-（x-8）=16-x；聯立兩個表示BF的式子可得：2x-12=16-x，即x= ，∴D（ ）.

綜上所述，點D坐標為（4，-2）或（ ）或（ ）.

【解析】（1）先根據△ABC為等腰直角三角形得出CB=CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；
（2）①過點B作BC⊥AB于點B，交l2于點C，過C作CD⊥x軸于D，根據∠BAC=45°可知△ABC為等腰Rt△，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性質得出C點坐標，利用待定系數法求出直線l2的函數解析式即可；②分兩種情況考慮：如圖2所示，1））點D為直角頂點，分兩種情況：當點D在矩形AOCB的內部時，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設D（x，2x-6）；則OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x，利用三角形全等得到DF=AE，即：12-2x=8-x，得x=4，易得D點坐標；當點D在矩形AOCB的外部時，設D（x，2x-6）；則OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x；同1可知：△ADE≌△DPF，AE=DF，即：2x-12=8-x， x= ，易得D點的坐標；2）點P為直角頂點，顯然此時點D位于矩形AOCB的外部如圖3所示，設點D（x，2x-6），則CF=2x-6，BF=2x-6-6=2x-12；同（1）可得，△APB≌△BDF，利用三角形全等可得AB=PF=8，PB=DF=x-8；故BF=PF-PB=8-（x-8）=16-x，即可確定出D點坐標。

【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形和確定一次函數的表達式的相關知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法才能正確解答此題．