Question

【題目】如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線交于點F．
（1）求證：FD2=FBFC；
（2）若G是BC的中點，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵E是Rt△ACD斜邊中點．

∴DE=EA．

∴∠A=∠2．

∵∠1=∠2．

∴∠1=∠A．

∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A．

∴∠FDC=∠FBD．

∵∠F是公共角．

∴△FBD∽△FDC．

∴ ．

∴FD2=FBFC

（2）證明：GD⊥EF，

理由如下：

∵DG是Rt△CDB斜邊上的中線，

∴DG=GC，

∴∠3=∠4，

由（1）得∠4=∠1，

∴∠3=∠1，

∵∠3+∠5=90°，

∴∠5+∠1=90°，

∴DG⊥EF．

【解析】（1）要求證：FD2=FBFC，只要證明△FBD∽△FDC，從而轉化為證明∠FDC=∠FBD；（2）GD與EF垂直，要證DG⊥EF，只要證明∠5+∠1=90°，即轉化為證明∠3=∠4即可．
【考點精析】掌握直角三角形斜邊上的中線和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．