Question

（本題滿分10分）
在   ABCD中，AC、BD交于點O，過點O作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點，連結EG、GF、FH、HE.

（1）如圖①，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；
（2）如圖②，當EF⊥GH時，四邊形EGFH的形狀是          ；
（3）如圖③，在（2）的條件下，若AC=BD，四邊形EGFH的形狀是         ；
（4）如圖④，在（3）的條件下，若AC⊥BD，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由.

Answer 1

（1）平行四邊形
（2）菱形
（3）菱形
（4）略解析:
（本小題滿分10分）
解：（1）四邊形EGFH是平行四邊形．                    …………………………1分
證明：∵   ABCD的對角線AC、BD交于點O．
∴點O是   ABCD的對稱中心．
∴EO=FO，GO=HO．
∴四邊形EGFH是平行四邊形．                          …………………………4分
（2）菱形．                                            …………………………5分
（3）菱形．                                            …………………………6分
（4）四邊形EGFH是正方形．                           …………………………7分
證明：∵AC=BD，∴   ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴   ABCD是菱形．
∴   ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．
∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．
∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF．               …………………………9分
由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，又∵EF⊥GH，EF=GH.
∴四邊形EGFH是正方形．                             …………………………10分