Question

【題目】已知二次函數y=x2+bx+c（b，c為常數）．

（1）當b=2，c=﹣3時，求二次函數圖象的頂點坐標；

（2）當c=10時，若在函數值y=1的情況下，只有一個自變量x的值與其對應，求此時二次函數的解析式；

（3）當c=b2時，若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對應的函數值y的最小值為21，求此時二次函數的解析式．

Answer 1

【答案】（1）頂點坐標為（-1，-4）；（2）二次函數的解析式y=x2+6x+10，y=x2﹣6x+10；（3）二次函數的解析式為y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16．

【解析】試題分析：（1）把b=2，c=﹣3代入函數解析式，通過變形為頂點式即可得頂點坐標；

（2）根據當c=10時，若在函數值y=l的情況下，只有一個自變量x的值與其對應，得到x2+bx+5=1有兩個相等是實數根，求此時二次函數的解析式；

（3）當c=b2時，寫出解析式，分三種情況進行討論即可．

試題解析：（1）當b=2，c=﹣3時，二次函數的解析式為y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴頂點坐標為（-1，-4）；

（2）當c=10時，二次函數的解析式為y=x2+bx+10，

由題意得，x2+bx+10=1有兩個相等是實數根，

∴△=b2﹣36=0，

解得b1=6，b2=﹣6，

∴二次函數的解析式y=x2+6x+10，y=x2﹣6x+10；

（3）當c=b2時，二次函數解析式為y═x2+bx+b2，

圖象開口向上，對稱軸為直線x=﹣ ，

①當﹣＜b，即b＞0時，

在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，y隨x的增大而增大，

∴當x=b時，y=b2+bb+b2=3b2為最小值，

∴3b2=21，解得b1=﹣ （舍去），b2=；

②當b≤﹣≤b+3時，即﹣2≤b≤0，

∴x=﹣，y=b2為最小值，

∴b2=21，解得b1=﹣2（舍去），b2=2（舍去）；

③當﹣＞b+3，即b＜﹣2，

在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，y隨x的增大而減小，

故當x=b+3時，y=（b+3）2+b（b+3）+b2=3b2+9b+9為最小值，

∴3b2+9b+9=21．解得b1=1（舍去），b2=﹣4；

∴b=時，解析式為：y=x2+x+7

b=﹣4時，解析式為：y=x2﹣4x+16．

綜上可得，此時二次函數的解析式為y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16．