Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2-x+c（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-2），已知B點坐標為（4，0）

（1）求拋物線的解析式；

（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；

（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，記點M到線段BC的距離為d，當d取最大值時，求出此時M點的坐標；

（4）若點P是拋物線上一點，點E是直線y=-x+1上的動點，是否存在點P、E，使以點A，點B，點P，點E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）外接圓的圓心為AB的中點，坐標為（，0）；

（3）M（2，-3）；（4）,，

【解析】

（1）根據點B、C的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）令拋物線解析式中y=0得到關于x的一元二次方程，解方程求出x值，由此即可得出點A的坐標，根據兩點間的距離公式即可求出AC、AB、BC，利用勾股定理得逆定理即可得出△ABC為直角三角形，由此即可得出△ABC的外接圓的圓心位置，再根據點A、B的坐標即可求出圓心坐標；
（3）將直線AB往下平移得到直線l，直線l與拋物線只有一個交點M時，此時點M到直線AB的距離最遠，根據點B、C的坐標利用待定系數法求出直線BC的解析式，設出直線l的解析式為y=x+m，將其代入拋物線解析式中令△=0，即可求出m值，再聯立直線l和拋物線解析式成方程組，解方程組即可求出點M的坐標；

（4）多種情況分類討論：若AB線段為平行四邊形的一條邊；若AB線段為平行四邊形的一條對角線，進而求解.

(1)將B(4,0)、C(0,2)代入y=ax+c(a≠0)中，

得：,解得：，

∴拋物線的解析式為y= x2.

(2)令y= x2中x=0,即 x2=0，

解得：=1, =4，

∴A(1,0).

∵B(4,0),C(0,2)，

∴AC=,BC=2，AB=5，

∵，

∴△ABC為直角三角形。

∴AB為△ABC外接圓的直徑，

∴該外接圓的圓心為AB的中點,且坐標為(,0).

(3)將直線AB往下平移得到直線l,直線l與拋物線只有一個交點M時,此時點M到直線AB的距離最遠,如圖1所示。

設直線AB的解析式為y=kx+b，直線l的解析式為y=kx+m，

將點B(4,0)、C(0,2)代入y=kx+b中，

得：,解得：,

∴直線BC的解析式為y= x2.

將y= x+m代入y= x2中,得 x2=x+m,即 2x2m=0.

∵直線l與拋物線只有一個交點，

∴△=4××(2m)=8+2m=0，解得：m=4，

∴直線l的解析式為y=x4.

聯立直線l與拋物線解析式得：,解得：，

∴M(2,3).

故：記點M到線段BC的距離為d,當d取最大值時,求出此時M點的坐標為(2,3).

（4）設P,E

若AB線段為平行四邊形的一條邊

則PEAB

由A(1,0)，B(4,0)可知，AB=5

當時，解得 ，此時E點坐標為或

當時，無解.

若AB線段為平行四邊形的一條對角線，

線段AB的中點即線段PE的中點，

解得n=

此時E點坐標為

綜上E點坐標為,，.