Question

【題目】如圖，一個Rt△DEF直角邊DE落在AB上，過A點作射線AC與斜邊EF平行，已知AB=12，DE=4，DF=3，點P從A點出發，沿射線AC方向以每秒2個單位的速度運動，Q為AP中點，設運動時間為t秒（t＞0）
（1）若點D與點B重合，當t=5時，連接QE，PF，此時△AQE為三角形、四邊形QEFP為形；
（2）如圖②，若在點P運動時，Rt△DEF同時沿著BA方向以每秒1個單位的速度運動，當D點到A點時，兩個運動都停止． ①如圖①，若M為EF中點，當D、M、Q三點在同一直線上時，求t的值；
②在運動過程中，以點Q為圓心的圓與Rt△DEF兩個直角邊所在直線都相切時，求運動時間t．

Answer 1

【答案】
（1）等腰；菱
（2）解：①當D、M、Q三點在同一直線上時，如圖②，

此時AQ=t，EM= EF= ，AD=12﹣t，DE=4．

∵EF∥AC，

∴△DEM∽△DAQ，

∴ = ，

∴ = ，

解得t= ；

②存在以點Q為圓心的圓與Rt△DEF兩個直角邊所在直線都相切，

此時點Q在∠ADF的角平分線上或在∠FDB的角平分線上．

Ⅰ．當點Q在∠ADF的角平分線上時，

過點Q作QH⊥AB于H，如圖③，

則有∠HQD=∠HDQ=45°，

∴QH=DH．

∵△AHQ∽△EDF（已證），

∴ = = ，

∴ = = ，

∴QH= ，AH= ，

∴DH=QH= ．

∵AB=AH+HD+BD=12，DB=t，

∴ + +t=12，

∴t=5；

Ⅱ．當點Q在∠FDB的角平分線上時，

過點Q作QH⊥AB于H，如圖④，

同理可得DH=QH= ，AH= ．

∵AB=AD+DB=AH﹣DH+DB=12，DB=t，

∴ ﹣ +t=12，

∴t=10．

綜上所述：當t為5秒或10秒時，以點Q為圓心的圓與Rt△DEF兩個直角邊所在直線都相切．

【解析】解：（1）四邊形EFPQ是菱形． 理由：過點Q作QH⊥AB于H，如圖①，
∵t=5，∴AP=2×5=10．
∵點Q是AP的中點，
∴AQ=PQ=5．
∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3，
∴EF= =5，
∴PQ=EF=5．
∵AC∥EF，
∴四邊形EFPQ是平行四邊形，且∠A=∠FEB．
又∵∠QHA=∠FDE=90°，
∴△AHQ∽△EDF，
∴ = = ．
∵AQ=EF=5，
∴AH=ED=4．
∵AE=12﹣4=8，
∴HE=8﹣4=4，
∴AH=EH，
∴AQ=EQ，
∴PQ=EQ，
∴△AQE是等腰三角形，平行四邊形EFPQ是菱形；
所以答案是：等腰，菱形．