Question

【題目】某校八年級數學小組在課外活動中，研究了同一坐標系中兩個反比例函數與（）在第一象限圖像的性質，經歷了如下探究過程：

操作猜想：（1）如圖1，當，時，在y軸的正半軸上取一點A作x軸的平行線交于點B，交于點C．當OA＝1時，＝ ；當OA＝3時，＝ ；當OA＝a時，猜想＝ ．

數學思考：（2）在y軸的正半軸上任意取點A作x軸的平行線，交于點B、交于點C，請用含、的式子表示的值，并利用圖2加以證明．

推廣應用：（3）如圖3，若，，在y軸的正半軸上分別取點A、D（OD＞OA）作x軸的平行線，交于點B、E，交于點C、F，是否存在四邊形ADFB是正方形？如果存在，求OA的長和點B的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；2；2；（2），證明見解析；（3）OA=4，點B的坐標為（2，4）．

【解析】

（1）只需根據ABOA=2及ACOA=6就可解決問題；

（2）由ABOA=k1及ACOA=k2可得BCOA=k2-k1，就可得到；

（3）設點B的坐標為（a，b）（a＞0，b＞0），則有DF=DA=AB=a，OA=b，從而可得到點F的坐標為（a，a+b）．由k2=12及可求得k1=8．然后根據點B在y=圖象上，點F在y=圖象上，可得到ab=8，a（a+b）=12，從而求出a、b的值，就可解決問題．

（1）當OA=1時，由ABOA=2得AB=2，由ACOA=6得AC=6，則有BC=AC-AB=4，所以；

當OA=3時，由ABOA=2得AB=，由ACOA=6得AC=2，則有BC=AC-AB=，所以；

當OA=a時，猜想：．

（2）．

證明：∵ABOA=k1，ACOA=k2，

∴ACOA-ABOA=BCOA=k2-k1，

∴．

（3）若四邊形ADFB是正方形，

設點B的坐標為（a，b）（a＞0，b＞0），

則有DF=DA=AB=a，OA=b，OD=a+b，

∴點F的坐標為（a，a+b）．

∵k2=12，，

∴，

解得：k1=8．

∵點B在y=圖象上，點F在y=圖象上，

∴ab=8，a（a+b）=12，

∴a2=12-8=4/span>，

∴a=2，

∴b=4，

∴OA=4，點B的坐標為（2，4）．