Question

【題目】（1）計(jì)算：

1×2×3×4+1=________；

2×3×4×5+1=_______；

3×4×5×6+1=_______；

4×5×6×7+1=________；

（2）觀察上述計(jì)算的結(jié)果，指出他們的共同特性；

（3）以上特性，對(duì)于任意給出的四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積與1的和仍具備嗎？試證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）25、121、361、841；（2）是一個(gè)完全平方數(shù)；（3）具備，證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)結(jié)果可直接看出它們都是完全平方數(shù)；
（3）根據(jù)題意可得第n個(gè)等式應(yīng)是n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]2=（n2+3n+1）2，再根據(jù)完全平方公式證明即可求解．

解：（1）1×2×3×4+1=25；
2×3×4×5+1=121；
3×4×5×6+1=361；
4×5×6×7+1=841；
（2），，，，所以都是完全平方數(shù)；
（3）具備，
證明：設(shè)四個(gè)自然數(shù)為n，n+1，n+2，n+3，

，

是一個(gè)完全平方數(shù)，所以具備同樣的性質(zhì)．