Question

如圖，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，過線段BD上的一個動點P（不與B、D重合）分別向直線AB、AD作垂線，垂足分別為E、F．
（1）BD的長是______；
（2）連接PC，當PE+PF+PC取得最小值時，此時PB的長是______．

Answer 1

（1）連接AC，交BD與點O，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，AC=AB=8，
根據菱形性質得：AO=CO=

1

2

AC=4，OB=OD，AC⊥BD，
根據勾股定理得：BD=2OB=2×

82-42

=8

3

；

（2）延長FP交BC于點M，則FM⊥BC．

∵PM=PE，
∴PE+PF=PF+PM=FM，
又∵S_菱形ABCD=

1

2

AC•BD=BC•FM，
∴

1

2

×8×8

3

=8•FM，即FM=4

3

，
∴要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值．
當CP⊥BD，即點P與點O重合時，PE+PF+PC的值最小．
此時PB=BO=DO=

1

2

BD=4

3

．
故答案為：8

3

；4

3

．