Question

在一個邊長為a（單位：cm）的正方形ABCD中．
（1）如圖1，如果N是AD中點，F為AB中點，連接DF，CN．
①求證：DF=CN；
②連接AC．求DH：HE：EF的值；
（2）如圖2，如果點E、M分別是線段AC、CD上的動點，假設點E從點A出發，以

2

cm/s速度沿AC向點C運動，同時點M從點C出發，以1cm/s的速度沿CD向點D運動，運動時間為t（t＞0），連結DE并延長交正方形的邊于點F，過點M作MN⊥DF于H，交AD于N．判斷命題“當點F是邊AB中點時，則點M是邊CD的三等分點”的真假，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）①證明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；
②利用勾股定理和相似三角形的判定與性質以及直角三角形面積公式分別求出DH，EF，DF的長，進而得出EH的長，即可得出DH：HE：EF的值；
（2）首先證明△AFE∽△CDE，利用比例式求出時間t=

1

3

a，進而得到CM=

1

3

a=

1

3

CD，所以該命題為真命題．

解答：（1）①證明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN，
在△ADF與△DNC中，

∠DAF=∠CDN=90° AD=CD ∠ADF=∠DCN

，
∴△ADF≌△DNC（ASA），
∴DF=MN；

②解：∵AD=CD=AB=a，N，F分別是AD，AB中點，
∴DN=AF=

a

2

，
∴DF=

5

2

a，
∵AF∥CD，
∴△AFE∽△CDE，
∴

EF

DE

=

AF

CD

=

1

2

，
∴

EF

DF

=

1

3

，
∴EF=

5

6

a，
∵DH×CN=DN×CD，
∴DH=

DN×CD

NC

=

1 2 a×a

5 2 a

=

5

5

a，
∴EH=

5

2

a-

5

6

a-

5

5

a=

2 5

15

a，
∴DH：HE：EF=

5

5

a：

2 5

15

a：

5

6

a=6：4：5；

（2）解：該命題是真命題．
理由如下：當點F是邊AB中點時，則AF=

1

2

AB=

1

2

CD．
∵AB∥CD，
∴△AFE∽△CDE，
∴

AE

EC

=

AF

CD

=

1

2

，
∴AE=

1

2

EC，則AE=

1

3

AC=

2

3

a，
∴t=

AE

2

=

1

3

a．
則CM=1•t=

1

3

a=

1

3

CD，
∴點M為邊CD的三等分點．

點評：此題主要考查了幾何綜合題和相似三角形、全等三角形、正方形、命題證明等知識點．解題要點是：（1）明確動點的運動過程；（2）明確運動過程中，各組成線段、三角形之間的關系．