Question

【題目】如圖，矩形OABC的邊OA，OC分別與坐標軸重合，并且點B的坐標為．將該矩形沿OB折疊，使得點A落在點E處，OE與BC的交點為D．

（1）求證：為等腰三角形；

（2）求點E的坐標；

（3）坐標平面內是否存在一點F，使得以點B，E，F，O為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) E點坐標為；(3)存在三點，，，

【解析】

（1）分析題目，證明OD=BD即可證明為等腰三角形，根據折疊的性質即可得到；

（2）根據矩形的性質先把OD的長度計算出來，再證明DE=CD，根據面積公式即可得到答案；

（3）分情況討論點F所在的象限，根據平行四邊形的性質計算即可得到．

解：（1）∵是由折疊所得，

∴≌，

∴，

又∵四邊形OABC是矩形，

∴OA∥BC，

∴，

∴OD=BD

∴為等腰三角形

（2）過點E作EF⊥軸于F交BC于G，設CD的長為，則BD=BC-CD=8-，由（1）知OD=BD=8-，

∵四邊形ABCD是矩形，,

∴∠OCD=∠OAB=90°，CA=AB，

∴在中，,

即，

解得，即CD=3，OD=BD=8-=5，

由(1)知，≌，

∴∠OEB=∠OAB=90°

∴∠OCD=∠BED=90°，

在和中，

,

∴≌（AAS），

∴DE=CD=3 ，BE=OC=4，

∵EF⊥軸，

∴∠OFB=90°，

∵OA∥BC，

∴∠CGE=∠OFB=90°,

∴CG⊥BD，

∴，

即，

∴在中，，

∵∠OCG=∠OFE=∠CGF =90°，

∴四邊形OFGC是矩形，

∴OF=CG=CD+DG=3+=，

∴EF=GE+GF=+4=，

故E點坐標為；

(3) 存在三點，，

（附答案）可分三種情況：

1．點F在第二象限，如圖1：

∵，，，

∴，即；

2．點F在第四象限，如圖2：

∵，，，

∴，即；

3．點F在第一象限，如圖3：

∵，，，

∴，即；

故存在三點，，使得以點B，E，F，O為頂點的四邊形是平行四邊形．