Question

【題目】如圖，在ABCD中，，，，點(diǎn)E為CD上一動點(diǎn)，經(jīng)過A、C、E三點(diǎn)的交BC于點(diǎn)F．

（操作與發(fā)現(xiàn)）

當(dāng)E運(yùn)動到處，利用直尺與規(guī)作出點(diǎn)E與點(diǎn)F；保留作圖痕跡

在的條件下，證明：．

（探索與證明）

點(diǎn)E運(yùn)動到任何一個位置時，求證：；

（延伸與應(yīng)用）

點(diǎn)E在運(yùn)動的過程中求EF的最小值．

Answer 1

【答案】作圖見解析；證明見解析；證明見解析； EF最小值為.

【解析】

當(dāng)，此時AC是的直徑，作出AC的中點(diǎn)O后，以OA為半徑作出即可作出點(diǎn)E、F；

易知AC為直徑，則，，從而得證；

如圖，作，，若E在DN之間，由可知，，然后再證明∽，從而可知，若E在CN之間時，同理可證；

由于A、F、C、E四點(diǎn)共圓，所以，由于四邊形ABCD為平行四邊形，，從而可證為等腰直角三角形，所以，由于，所以E與N重合時，FE最小．

如圖1所示，

如圖，易知AC為直徑，則，

則，

，

如圖，作，，若E在DN之間

由可知，

、F、C、E四點(diǎn)共圓，

，

，

，

，

∽

，

若E在CN之間時，同理可證

、F、C、E四點(diǎn)共圓，

，

四邊形ABCD為平行四邊形，，

，

，

，

為等腰直角三角形，

，

，

與N重合時，FE最小，

此時，

在中，，則

由勾股定理可知：

此時EF最小值為.