Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，連接AC，BC，把△ABC沿x軸向右平移得到△A′B′C′，AB邊上的點O平移到點O′．

（1）求點B、C的坐標及拋物線的對稱軸；

（2）在平移的過程中，設點B關于直線A′C′的對稱點為點F，當點F落在直線AC上時，求△ABC平移的距離；

（3）在平移過程中，連接CA′，CO′，求△A′CO′周長的最小值．

Answer 1

【答案】(1)B（1，0），C（0，3）；對稱軸是直線x=﹣；

(2)△ABC平移的距離為；

(3)△A′CO′周長的最小值為4+2．

【解析】

試題分析：（1）通過加方程x2﹣x+3=0可得A點和B點坐標，再計算自變量為0時的函數值可得到C點坐標，然后利用對稱性可確定拋物線的對稱軸；

（2）根據軸對稱的性質對稱BM=FM，由平移的定義可知A′M∥AC，根據平行線分線段成比例定理即可證得AA′=BA′=，從而求得平移的距離為；

（3）過A點作AN⊥x軸，且AN=OC，易證得△NAA′≌△COO′，得出A′N=CO′，根據兩點之間線段最短，當△A′CO′周長的最小時，A′在直線NC上，即∠AA′N=∠CA′O，即可根據AAS證得△NAA′≌△COA′，得出AA′=OA′，NA′=NA′，然后根據勾股定理求得CA′=，即可求得三角形周長的最小值．

試題解析：（1）當y=0時， x2﹣x+3=0，解得x1=1，x2=﹣4，則A（﹣4，0），B（1，0），

當x=0時，y=x2﹣x+3=3，則C（0，3）；

拋物線的對稱軸是直線x==﹣；

（2）∵點B和點F關于直線A′C′的對稱，∴BM=FM，由平移的定義可知A′M∥AC，

∴==1，∴AA′=BA′=AB，∵A（﹣4，0），B（1，0），∴AB=5，

∴AA′=BA′=，∴△ABC平移的距離為；

（3）過A點作AN⊥x軸，且AN=OC，

∴∠NAA′=∠COO′=90°，

在△NAA′和△COO′中，

∴△NAA′≌△COO′（ASA），

∴A′N=CO′，

當△A′CO′周長的最小時，A′在直線NC上，

即∠AA′N=∠CA′O，

在△NAA′和△COA′中，

∴△NAA′≌△COA′（AAS），

∴AA′=OA′，NA′=NA′，

∴CA′=CO′，

∵OA=4，

∴AA′=OA′=2，

∴OO′=2，

∴A′O′=4，

∵OC=3，

∴CA′==，

∴△A′CO′周長的最小值為4+2．