Question

【題目】如圖1，線段AB、CD相交于點O，連結AD、CB，我們把這個圖形稱為“8字型”根據三角形內角和容易得到：∠A+∠D=∠C+∠B.

(1)用“8字型”

如圖2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___________；

(2)造“8字型”

如圖3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_____________;

(3)發現“8字型”

如圖4，BE、CD相交于點A，CF為∠BCD的平分

線，EF為∠BED的平分線.

①圖中共有________個“8字型”；

②若∠B：∠D：∠F=4：6：x，求x的值.

Answer 1

【答案】(1)360°；(2)540；(3)①6；②x=5.

【解析】（1）根據題意即可得到結論；
（3）①由圖形即可得到結論；
②根據三角形內角和為180°的性質即可證得關系為∠D+∠B=2∠F，再根據∠B、∠D、∠F的比值，即可求得x的值；

（1）∵∠A+∠B=∠GKH+∠GHK，
∠C+∠D=∠GHK+∠HGK，
∠E+∠F=∠HGK+∠GKH，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2（∠GKH+∠GHK+∠HGK）=2×180°=360°，故答案為：360°；
（2）如圖，連結BC，

∵∠E+∠G=∠GCB+∠EBC，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=五邊形FABCD的內角和，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2）180°=540°，
故答案為：540°；
（3）①圖中共有6個“8字型”；
故答案為：6．
②：∵CF平分∠BCD，EF平分∠BED
∴∠DEG=∠AEG，∠ACH=∠BCH，
∵在△DGE和△FGC中，∠DGE=∠FGC
∴∠D+∠DEG=∠F+∠ACH
∵在△BHC和△FHE中，∠BHC=∠FHE
∴∠B+∠BCH=∠F+∠AEG
∴∠D+∠DEG+∠B+∠BCH=∠F+∠ACH+∠F+∠AEG
∴∠D+∠B=2∠F；
∵∠B：∠D：∠F=4：6：x，∠D+∠B=2∠F，
∴x=5．