Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，點E在AB的延長線上，∠AED=∠ABC
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）若BF=2，DF= ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠A+∠ABC=90°，

∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，

∴∠BOD=∠A，

∵∠AED=∠ABC，

∴∠BOD+∠AED=90°，

∴∠ODE=90°，

即OD⊥DE，

∴DE與⊙O相切；

（2）解：連接BD，過D作DH⊥BF于H，

∵DE與⊙O相切，

∴∠BDE=∠BCD，

∵∠AED=∠ABC，

∴∠AFC=∠DBF，

∵∠AFC=∠DFB，

∴△ACF與△FDB都是等腰三角形，

∴FH=BH= BF=1，則FH=1

，∴HD= =3，

在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2，

即（OD﹣1）2+32=OD2，

∴OD=5，

∴⊙O的半徑是5．

【解析】（1）連接OD，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，求得∠A+∠ABC=90°，等量代換得到∠BOD=∠A，推出∠ODE=90°，即可得到結論；（2）連接BD，過D作DH⊥BF于H，由弦且角動量得到∠BDE=∠BCD，推出△ACF與△FDB都是等腰三角形，根據等腰直角三角形的性質得到FH=BH= BF=1，則FH=1，根據勾股定理得到HD= =3，然后根據勾股定理列方程即可得到結論．本題考查了切線的判定和性質，等腰三角形的判定，直角三角形的性質，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．