Question

已知，如圖，△ABC是邊長為3 cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1 cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間為t(s)，解答下列問題：

(1)當t為何值時，△PBQ是直角三角形？

(2)設四邊形APQC的面積為y(cm²)，求y與t的關系式；是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的？如果存在，求出相應的t值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解　(1)當∠BPQ＝90°時，

在Rt△BPQ中，∠B＝60°，BP＝3－t，BQ＝t.

∵cos B＝，∴BP＝BQ·cos B，

即3－t＝t·.解之，得t＝2.

當∠BQP＝90°時，

在Rt△BPQ中，∠B＝60°，BP＝3－t，BQ＝t，

∵cos B＝，∴BQ＝BP·cos B，即t＝(3－t)·.解之，得t＝1.

綜上，t＝1或t＝2時，△PBQ是直角三角形．

(2)∵S_{四邊形APQC}＝S_△ABC－S_△PBQ，

∴y＝×3×3·sin 60°－×(3－t)·t·sin 60°

＝t²－t＋.

又∵S_{四邊形APQC}＝S_△ABC，

∴t²－＋＝×，

整理得，t²－3t＋3＝0，Δ＝(－3)²－4×1×3＜0，

∴方程無實根．∴無論t取何值時，四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的.