Question

（2007•懷化）兩個直角邊為6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED按圖1所示的位置放置，A與C重合，O與C重合．
（1）求圖1中，A，B，D三點的坐標；
（2）Rt△AOB固定不動，Rt△CED沿x軸以每秒2個單位長的速度向右運動，當D點運動到與B點重合時停止，設運動x秒后Rt△CED和Rt△AOB重疊部分面積為y，求y與x之間的函數關系式；
（3）當Rt△CED以（2）中的速度和方向運動，運動時間x=4秒時Rt△CED運動到如圖2所示的位置，求經過A，G，C三點的拋物線的解析式；
（4）現有一半徑為2，圓心P在（3）中的拋物線上運動的動圓，試問⊙P在運動過程中是否存在⊙P與x軸或y軸相切的情況？若存在，請求出P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）Rt△AOB≌Rt△CED且直角邊為6，所以有A（0，6），B（6，0），D（-6，0），
（2）Rt△CED沿x軸以每秒2個單位長的速度向右運動，且DE=6，所以在運動過程中有兩種情況，即D點仍停留在y軸左側和D在y軸右側，需分情況討論．在第一種情況中，重合部分為兩個全等的直角梯形，在第二種情況中，重合部分為一個等腰直角三角形，面積易求出．
（3）當運動時間為4秒時，即為（2）中第二種情況，此時A、G、C坐標均可求出，可利用待定系數法進行求解．
（4）當⊙P在運動過程中，存在⊙P與坐標軸相切的情況，具體分兩種，與x軸相切和與y軸相切，當與y軸相切時可能在y軸左邊也可能在y軸右邊，因此又有兩種情況，與x軸相切時一種情況．
解答：解：（1）A（0，6），B（6，0），D（-6，0）．（2分）

（2）當0≤x＜3時，位置如圖A所示，
作GH⊥DB，垂足為H，可知：OE=2x，EH=x，
DO=6-2x，DH=6-x，
∴y=2S_梯形IOHG=2（S_△GHD-S_△IOD）
=2[（6-x）²-（6-2x）²]
=2（x²+6x）
=-3x²+12x（3分）
當3≤x≤6時，位置如圖B所示．
可知：DB=12-2x
∴y=S_△DGB=
=（12-2x）]²=x²-12x+36（4分）
（求梯形IOHG的面積及△DGB的面積時只要所用方法適當，所得結論正確均可給分）
∴y與x的函數關系式為：；（5分）

（3）圖B中，作GH⊥OE，垂足為H，
當x=4時，OE=2x=8，DB=12-2x=4，
∴GH=DH=DB=2，OH=6-HB=6-，DB=6-2=4
∴可知A（0，6），G（4，2），C（8，6），6分
∴經過A，G，C三點的拋物線的解析式為：y=（x-4）²+2=-2x+6；（7分）

（4）當⊙P在運動過程中，存在⊙P與坐標軸相切的情況，
設P點坐標為（x，y）
當⊙P與y軸相切時，有|x|=2，x=±2，
由x=-2，得：y=11，
∴P₁（-2，11）
由x=2，得y=3，
∴P₂（2，3）
當⊙P與x軸相切時，有|y|=2
y=（x-4）²+2＞0
∴y=2，得：x=4，
∴P₃（4，2）
綜上所述，符合條件的圓心P有三個，
其坐標分別是：P₁（-2，11），P₂（2，3），P₃（4，2）．10分（每求出一個點坐標得1分）
點評：此題主要是把運動問題和二次函數緊密聯系，考慮問題要全面．