Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=

1

3

AB，點P從B點出發，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA運動至A點停止，則從運動開始經過多少時間，△BEP為等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）推出AD∥BC，AB∥DC，根據平行四邊形的判定推出即可；
（2）求出AC，當P在BC上時，①BP=EB=2，②BP=PE，作PM⊥AB于M，根據cosB求出BP，③BE=PE=2cm，作EN⊥BC于N，根據cosB求出BN；當P在CD上不能得出等腰三角形；當P在AD上時，過P作PQ⊥BA于Q，證△QAP∽△ABC，推出PQ：AQ：AP=4：3：5，設PQ=4xcm，AQ=3xcm，在△EPN中，由勾股定理得出方程（3x+1）²+（4x）²=2²，求出方程的解即可．

解答：（1）證明：∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥CD，
∵∠B=∠D，∠B+∠BAC+∠ACB=∠D+∠ACD+∠DAC=180°，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．

（2）解：∵∠BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，′
由勾股定理得：AC=4cm，
即AB、CD間的最短距離是4cm，
∵AB=3cm，AE=

1

3

AB，
∴AE=1cm，BE=2cm，
設經過ts時，△BEP是等腰三角形，
當P在BC上時，
①BP=EB=2cm，
t=2時，△BEP是等腰三角形；
②BP=PE，
作PM⊥AB于M，
∴BM=ME=

1

2

BE=1cm
∵cos∠ABC=

AB

BC

=

BM

BP

=

3

5

，
∴BP=

5

3

cm，
t=

5

3

時，△BEP是等腰三角形；
③BE=PE=2cm，
作EN⊥BC于N，則BP=2BN，
∴cosB=

BN

BE

=

3

5

，
∴

BN

2

=

3

5

，
BN=

6

5

cm，
∴BP=

12

5

，
∴t=

12

5

時，△BEP是等腰三角形；
當P在CD上不能得出等腰三角形，
∵AB、CD間的最短距離是4cm，CA⊥AB，CA=4cm，
當P在AD上時，只能BE=EP=2cm，
過P作PQ⊥BA于Q，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠QAD=∠ABC，
∵∠BAC=∠Q=90°，
∴△QAP∽△ABC，
∴PQ：AQ：AP=4：3：5，
設PQ=4xcm，AQ=3xcm，
在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）²+（4x）²=2²，
∴x=

2 21 -3

25

，
AP=5x=

2 21 -3

5

cm，
∴t=5+5+3-

2 21 -3

5

=

68-2  21

5

，
答：從運動開始經過2s或

5

3

s或

12

5

s或

68-2 21

5

s時，△BEP為等腰三角形．

點評：本題主要考查對平行四邊形的性質和判定，相似三角形的性質和判定．全等三角形的性質和判定，勾股定理，等腰三角形的性質，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．