Question

【題目】閱讀理解：

給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的 2 倍，則這個矩形是給定矩形的“加倍”矩形．如圖，矩形 A1B1C1D1是矩形 ABCD 的“加倍”矩形．請你解決下列問題：

（1）邊長為 a 的正方形存在“加倍”正方形嗎？如果存在，求出“加倍”正方形的邊長；如果不存在，說明理由．

（2）當矩形的長和寬分別為 m，n 時，它是否存在“加倍”矩形？請作出判斷，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）不存在．理由見解析；（2）存在．理由見解析.

【解析】

（1）根據所有的正方形都相似由相似比確定面積比后即可做出判斷；

（2）設“加倍”矩形的長和寬分別為x，y，可得的關系，分析可得x，y就是關于A的方程A2-2（m+n）A+2mn=0的兩個正根，判斷可得：△=4（m2+n2）＞0，故存在“加倍”矩形．

根據給出的兩邊長得到周長，然后設出其中一邊，表示出另一邊根據題意列出方程求解，若能求得答案即存在，否則就不存在．

（1）不存在．

因為兩個正方形是相似圖形，當它們的周長比為 2 時，則面積比必定是 4，所以不存在．

（相同解答均可給分，如：滿足周長是 2 倍時，則面積就成了 4 倍，所以不存在）

（2）存在．

設“加倍”矩形的長和寬分別為 x，y．

則：．

x，y 就是關于 A 的方程 A2﹣2（m+n）A+2mn＝0 的兩個正根．

∵△＝[﹣2（m+n）]2﹣8mn＝4(m2+n2)．

此題中，m＞0，n＞0．

∴△＝4（m2+n2）＞0．

∴方程有兩個不相等的正實數根 x 和 y.

即：存在一個矩形是已知矩形的“加倍”矩形.