Question

【題目】在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中點，一塊足夠大的三角板的直角頂點與點E重合，將三角板繞點E旋轉，三角板的兩直角邊分別交AB，BC（或它們的延長線）于點M，N，設∠AEM=α（0°＜α＜90°），給出下列四個結論：
①AM=CN；
②∠AME=∠BNE；
③BN﹣AM=2；
④S△EMN= ．
上述結論中正確的個數是（　　）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①如圖，

在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中點，
作EF⊥BC于點F，則有AB=AE=EF=FC，
∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，
∴∠AEM=∠FEN，
在Rt△AME和Rt△FNE中，
，
∴Rt△AME≌Rt△FNE，
∴AM=FN，
∴MB=CN．
∵AM不一定等于CN，
∴AM不一定等于CN，
∴①錯誤，
②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，
∴∠AME=∠BNE，
∴②正確，
③由①得，BM=CN，
∵AD=2AB=4，
∴BC=4，AB=2
∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，
∴③正確，
④如圖，

由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE= AD=2，AM=FN∵tanα= ，
∴AM=AEtanα
∵cosα= ，
∴cos2α= ，
∴ =1+ =1+（ ）2=1+tan2α，
∴ =2（1+tan2α）
∴S△EMN=S四邊形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN
= （AE+BN）×AB﹣ AE×AM﹣ BN×BM
= （AE+BC﹣CN）×2﹣ AE×AM﹣ （BC﹣CN）×CN
= （AE+BC﹣CF+FN）×2﹣ AE×AM﹣ （BC﹣2+AM）（2﹣AM）
=AE+BC﹣CF+AM﹣ AE×AM﹣ （2+AM）（2﹣AM）
=AE+AM﹣ AE×AM+ AM2
=AE+AEtanα﹣ AE2tanα+ AE2tan2α
=2+2tanα﹣2tanα+2tan2α
=2（1+tan2α）
= ．
∴④正確．
故選C．
①作輔助線EF⊥BC于點F，然后證明Rt△AME≌Rt△FNE，從而求出AM=FN，所以BM與CN的長度相等．
②由①Rt△AME≌Rt△FNE，即可得到結論正確；
③經過簡單的計算得到BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，
④用面積的和和差進行計算，用數值代換即可．此題是全等三角形的性質和判定題，主要考查了全等三角形的性質和判定，圖形面積的計算銳角三角函數，解本題的關鍵是Rt△AME≌Rt△FNE，難點是計算S△EMN ．