Question

【題目】如圖，將OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐標系中，動點M、N以每秒1個單位的速度分別從點A、C同時出發，其中點M沿AO向終點O運動，點N沿CB向終點B運動，當兩個動點運動了t秒時，過點N作NP⊥BC，交OB于點P，連接MP．

（1）點B的坐標為；用含t的式子表示點P的坐標為；
（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數關系式（0＜t＜6），并求當t為何值時，S有最大值？
（3）試探究：在上述運動過程中，是否存在點T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是△ONC的 ？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（6，4）；（t， t）
（2）

解：∵S△OMP= ×OM× t，

∴S= ×（6﹣t）× t=﹣ t2+2t=﹣ （t﹣3）2+3（0＜t＜6）．

∴當t=3時，S有最大值．

（3）

解：存在．理由如下：

由（2）得，當S有最大值時，點M、N的坐標分別為：M（3，0），N（3，4），

則直線ON的函數關系式為：y= x．

設點T的坐標為（0，b），則直線MT的函數關系式為：y=﹣ x+b，

解方程組 得 ，

∴直線ON與MT的交點R的坐標為（ ， ），

∵S△OCN= ×4×3=6，

∴S△ORT= S△OCN=2，

①當點T在點O、C之間時，分割出的三角形是△OR1T1，

如圖2所示，作R1D1⊥y軸，D1為垂足，則S△OR1T1= RD1OT= b=2．

∴3b2﹣4b﹣16=0，

解得：b= （負值舍去）．

∴b= ，

此時點T1的坐標為（0， ）．

②當點T在OC的延長線上時，分割出的三角形是△R2NE，如圖，設MT交CN于點E，

由①得點E的橫坐標為 ，作R2D2⊥CN交CN于點D2，則

S△R2NE= ENR2D2= （3﹣ ）（4﹣ = =2．

∴b2+4b﹣48=0，

解得：b=±2 ﹣2（負值舍去）．

∴b=2 ﹣2．

∴此時點T2的坐標為（0，2 ）．

綜上所述，在y軸上存在點T1（0， ），T2（0，2 ﹣2）符合條件．

【解析】解：（1）延長NP交OA于H，如圖1所示：
∵矩形OABC，
∴BC∥OA，∠OCB=90°，
∵PN⊥BC，
∴NH∥OC，
∴四邊形CNHO是平行四邊形，
∴OH=CN，
∵OA=6，AB=4，
∴點B的坐標為（6，4）；
由圖可得，點P的橫坐標=0H=CN=t，縱坐標=4﹣NP，
∵NP⊥BC，
∴NP∥OC，
∴NP：OC=BN：CB，
即NP：4=（6﹣t）：6，
∴NP=4﹣ t，
∴點P的縱坐標=4﹣NP= t，
則點P的坐標為（t， t）；
所以答案是：（6，4）；（t， t）；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的最值和平行四邊形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．