Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=

1

2

，以點C為圓心，CB為半徑的弧交CA于點D；以點A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點E．
（1）求AE的長度；
（2）分別以點A、E為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點F（F與C在AB兩側），連接AF、EF，設EF交弧DE所在的圓于點G，連接AG，試猜想∠EAG的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據在Rt△ABC中利用勾股定理求得AC，根據BC=CD，AE=AD求得AE=AC-AD即可．
（2）根據FA=FE=AB=1，求得AE可得△FAE是黃金三角形可得∠EAG=∠F=36°．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，由AB=1，BC=

1

2

，
得AC=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
∵以點C為圓心，CB為半徑的弧交CA于點D；以點A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點E
∴BC=CD，AE=AD，
∴AE=AC-CD=

5 -1

2

；

（2）∠EAG=36°，理由如下：
∵FA=FE=AB=1，AE=

5 -1

2

，
∴

AE

FA

=

5 -1

2

，
∴△FAE是黃金三角形，
∴∠F=36°，∠AEF=72°，
∵AE=AG，
∴∠EAG=∠F=36°．

點評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的應用，考查了相似三角形的證明和性質，本題中求證三角形相似是解題的關鍵．