Question

【題目】如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CD是⊙O的切線，AD⊥CD于點D.E是AB延長線上一點，CE交⊙O于點F，連結OC，AC.

(1)求證：AC平分∠DAO；

(2)若∠DAO=105°，∠E=30°.①求∠OCE的度數.②若⊙O的半徑為，求線段EF的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①∠OCE=45°；②EF =-2.

【解析】【試題分析】（1）根據直線與⊙O相切的性質，得OC⊥CD.

又因為AD⊥CD，根據同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線也平行，得：AD//OC. ∠DAC=∠OCA.又因為OC=OA，根據等邊對等角，得∠OAC=∠OCA.等量代換得：∠DAC=∠OAC.根據角平分線的定義得：AC平分∠DAO.

（2）①因為 AD//OC，∠DAO=105°，根據兩直線平行，同位角相等得，∠EOC=∠DAO=105°，在 中，∠E=30°，利用內角和定理，得：∠OCE=45°.

②作OG⊥CE于點G，根據垂徑定理可得FG=CG， 因為OC=，∠OCE=45°.等腰直角三角形的斜邊是腰長的 倍，得CG=OG=2. FG=2.在Rt△OGE中，∠E=30°，得GE=， 則EF=GE-FG=-2.

【試題解析】

（1）∵直線與⊙O相切，∴OC⊥CD.

又∵AD⊥CD，∴AD//OC.

∴∠DAC=∠OCA.

又∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA.

∴∠DAC=∠OAC.

∴AC平分∠DAO.

（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，∴∠EOC=∠DAO=105°

∵∠E=30°，∴∠OCE=45°.

②作OG⊥CE于點G，可得FG=CG

∵OC=，∠OCE=45°.∴CG=OG=2.

∴FG=2.

∵在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=.

∴EF=GE-FG=-2.