Question

⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過點C的切線與AB的延長線相交于點D，AE⊥DC交DC于點E．
（1）求證：AC是∠EAB的平分線；
（2）若圓的半徑為3，BD=2，DC=4，求AE和BC．

Answer 1

（1）證明：連接OC，
∵ED為圓O的切線，
∴OC⊥ED，
又AE⊥ED，
∴OC∥EA，
∴∠EAC=∠ACO，
又OA=OC，∴∠OAC=∠ACO，
∴∠EAC=∠OAC，即AC是∠EAB的平分線；

（2）∵OC∥AE，
∴∠OCD=∠E，∠COD=∠EAD，
∴△OCD∽△DEA，
∴

OC

AE

=

OD

AD

，即

3

AE

=

5

8

，
解得：AE=

24

5

，
∵CD=4，BD=2，AD=8，
即CD²=BD•AD，且夾角∠D為公共角，
∴△BCD∽△ACD，且相似比=

4

8

=

1

2

，
∴

BC

AC

=

1

2

，即AC=2BC，
∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，根據勾股定理得：AC²+BC²=AB²，
即4BC²+BC²=36，解得：BC=

6 5

5

．