Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，∠A=∠C，CD=2AD，BE⊥AD于點E，F為CD的中點，連接EF、BF．

（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）求證：BF平分∠ABC；

（3）請判斷△BEF的形狀，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）ΔBEF為等腰三角形，見解析.

【解析】

（1）由平行線的性質得出∠A+∠ABC=180°，由已知得出∠C+∠ABC=180°，證出AB//BC，即可得出四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）由平行四邊形的性質得出BC=AD，AB//CD，得出∠CFB=∠ABF，由已知得出CF=BC，得出∠CFB=∠CBF，證出∠ABF=∠CBF即可；

（3）作FG⊥BE于G，證出FG/AD//BC，得出EG=BG，由線段垂直平分線的性質得出EF=BF即可.

解：(1)證明：∵AD∥BC，

∴∠A+∠ABC=180°：

∵∠A=∠C

∴∠C+∠ABC=180°

∴AB∥CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形

（2）證明：

∵F點為CD中點

∴CD=2CF

∴CD=2AD

∴CF=AD=BC

∴∠CFB=∠CBF

∴CD∥AB

∴∠CFB=∠FBA

∴∠FBA=∠CBF

∴BF平分∠ABC

(3)ΔBEF為等腰三角形

理由：如圖，延長EF交B延長線于點G

∴DA∥BG

∴∠G=∠DEF

∵F為DC中點

∴DF=CF

又∵∠DFE=∠CFG

∴ΔDFE≌ΔCFG(AAS)

∴FE=FG

∵AD∥BC，BE⊥AD

∴BE⊥CD

∴∠EBG=90°

在RtΔEBG中，F為BG中點

∴BF=EG=EF

∴ΔBEF為等腰三角形。