Question

如圖，在直角坐標系中，⊙P與y軸相切于點C，與x軸交于A（x₁，0），B（x₂,0）兩點，其中x₁，x₂是方程x²-10x+16=0的兩個根，且x₁<x₂，連接BC，AC．

（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點Ｑ,使△QAC的周長最小，若存在求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）點Ｍ在第一象限的拋物線上，當△MBC的面積最大時，求點Ｍ的坐標．

Answer 1

（1）過A、B、C三點的拋物線的解析式（2）存在；Q（5，）（3）點M的坐標為（4,2）

試題分析：（1）解：解方程x²-10x+16=0，由x₁<x_2，得
x₁=2,x₂=8
∴A(2,0)  B(8,0);      
OA=2,OB=8
∵OC切⊙P于點C
∴∠ACO=∠ABC
∴ΔOCA∽OBC
∴OC²=OA·OB=16，OC＞0
∴OC=4 ∴C(0，-4)         
設過A,B,C三點的拋物線的解析式為y=a(x-2)(x-8)
∴16a=-4 ∴a=
∴y=(x-2)(x-8)=        
(2)存在. ∵A,B兩點關于拋物線的對稱軸對稱，
∴直線BC與對稱軸的交點即為點Q.      
用待定系數法易求直線BC的解析式為     
當時，
∴Q（5，）     
（3）過點M作ME⊥BC與E,交軸于點D,作MN⊥CD于N
∴∠D＋∠DCE＝90°,而∠OBC＋∠OCB＝90°
∴∠D＝∠OBC＝∠OCA
∴ΔDMN∽ΔCAO∽ΔDCE          
∵OA＝2，OC＝4  ∴AC=
而,        
∴MN=,DN＝,DM＝
而ON＝   
DC＝
∴DE＝ 
∴ME=DE-DM=－
＝     
∴＝·
＝
＝          
即當時，ΔBCM的面積最大.
在=中，時，
∴點M的坐標為（4,2）          
點評：本題考查直線與圓相切，一元二次方程，拋物線，掌握直線與圓相切的概念和性質，會求一元二次方程的解，會用待定系數法求函數解析式