Question

【題目】（1）如圖 1，在 ABCD 中，AC、BD 交于點 O，過點 O 的直線 l 交 AB 于 E， 交 CD 于 F，①判斷 OE 和 OF 的數量關系： ，并證明；

② S四邊形AEFD S四邊形CFEB （填“>” 或“=” 或“<”）．

（2）如圖 2 是一塊“L”形的材料，請你作一條直線 m，使得直線 m 兩邊的材料的面積相等（保留作圖痕跡，不用證明）．

（3）如圖 3，正方形 ABCD 的邊長為 2cm，動點 P、Q 分別從點 A、C 同時出發，以 相同的速度分別沿 AD、CB 向終點 D、B 移動，當點 P 到達點 D 時，運動停止，過點 C 作 CH⊥PQ，垂足為點 H，連接 BH，則 BH 長的最小值為 cm（保留作圖痕跡， 直接填寫結果）．

Answer 1

【答案】（1）①OE＝OF，證明見詳解；②＝；（2）答案見詳解；（3）

【解析】

（1）①通過證明△AOE≌△COF即可判斷OE，OF的數量關系；

②利用平行四邊形和全等三角形的性質得到，，然后利用等式的性質求解；

（2）直接利用矩形的性質結合中心對稱圖形的性質得出答案；

（3）設正方形的中心為O，可證PQ經過O點．連結OC，取OC中點M，連結 MH，MB，利用正方形的性質和勾股定理求出MB的長，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求出MH的長，然后利用兩點之間線段最短解決問題即可．

解：（1）①∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=OC，AB∥CD，

∴∠EAO=∠FCO，

在△EAO和△FCO中，

∴△AOE≌△COF

∴OE=OF

故答案為：OE=OF；

②∵在 ABCD 中，

又由①可知△AOE≌△COF

∴

∴

即S四邊形AEFD=S四邊形CFEB

故答案為：=；

（2）如圖所示：

先找到兩個矩形的中心，然后連接中心

直線m即為所求

（3）設正方形的中心為O，

由題意可知PD=BQ

∴在正方形ABCD中可知PQ經過O點．

連結OC，取OC中點M，連結 MH，MB，

∵正方形 ABCD 的邊長為 2cm

∴CO=BO=，OM=MC=

∴

∵CH⊥PQ

∴MH=

BH≥BM-MH

即BH≥

∴當B，H，M三點共線時，BH最小為

故答案為：．