Question

沿著圓周放著一些數，如果有依次相連的4個數a，b，c，d滿足不等式（a-d）（b-c）＞0，那么就可以交換b，c的位置，這稱為一次操作．
（1）若圓周上依次放著數1，2，3，4，5，6，問：是否能經過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數a，b，c，d，都有（a-d）（b-c）≤0？請說明理由．
（2）若圓周上從小到大按順時針方向依次放著2003個正整數1，2，…，2003，問：是否能經過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數a，b，c，d，都有（a-d）（b-c）≤0？請說明理由．

Answer 1

（1）答：能．
具體操作如下：

（2）答：能．
理由：設這2003個數的相鄰兩數乘積之和為P．
開始時，P₀=1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1，
經過k（k≥0）次操作后，這2003個數的相鄰兩數乘積之和為P_k，
此時若圓周上依次相連的4個數a，b，c，d滿足不等式（a-d）（b-c）＞0，即ab+cd＞ac+bd，交換b，c的位置后，
這2003個數的相鄰兩數乘積之和為P_k+1，有P_k+1-P_k=（ac+cb+bd）-（ab+bc+cd）=ac+bd-ab-cd＜0．
所以P_k+1-P_k≤-1，即每一次操作，相鄰兩數乘積的和至少減少1，
由于相鄰兩數乘積總大于0，
故經過有限次操作后，對任意依次相連的4個數a，b，c，d，一定有（a-d）（b-c）≤0．