Question

【題目】如圖甲，已知在⊙O中，AB=，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A=30度．

（1）連接BC，CD，請你判定四邊形OBCD是何種特殊的四邊形？試說明理由；

（2）若用扇形OBD圍成一個圓錐側面，請求出這個圓錐的底面圓的半徑；

（3）如圖乙，若將“∠A=30°”改為“∠A=22.5°”，其余條件不變，以半徑OB、OD的中點M、N為頂點作矩形MNGH，頂點G、H在⊙O的劣弧上，GH交OC于點E．試求圖中陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

【答案】（1）四邊形OBCD是菱形，證明見解析；（2）；（3）；

【解析】

（1）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形進行證明，由AC⊥BD，根據(jù)垂徑定理可知：BF=FD，故只需證明OF=CF．在Rt△ABF中，已知∠A和AB，可將BF，AF的長求出；在Rt△BOF中，運用勾股定理可將半徑OB及OF求出，根據(jù)CF=2OB-AF可將CF求出，根據(jù)OF=CF，BF=FD，BD⊥OC，可證四邊形OBCD為菱形；
（2）已知扇形BOD的圓心角和半徑，代入l弧長=進行求解，再根據(jù)底面周長：2πr=l弧長，可求出圓錐底面的半徑；
（3）作輔助線，連接OH，S陰影=S扇形OBD-S△BOD-S下矩形，S扇形=lR，S△BOD=OB2，代入數(shù)據(jù)可將扇形AOB和△BOD的面積求出，由M、N是△OBD的中位線，可知MN=BD，在Rt△OEH中，根據(jù)勾股定理可求出OE，又OF=OB，可得EF=OE-OF，故：S下矩形=MN×EF，從而可將陰影部分的面積求出．

解：（1）四邊形OBCD是菱形．

如圖丙，∵AC⊥BD，AC是直徑，

∴AC垂直平分BD．

∴BF=FD， ．

∴∠BAD=2∠BAC=60°，

∴∠BOD=120°．

∵BF=AB=2，

在Rt△ABF中，

AF=,

在Rt△BOF中，

∴OB2=BF2+OF2．即 ．

解得：OB=4．

∵OA=OB=4，

∴OF=AF﹣AO=6﹣4=2，

∵AC=2OA=8，

∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2，

∴CF=OF，

∵BF=FD，AC⊥BD，

∴四邊形OBCD是菱形；

（2）設圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr．

∵扇形OBD的弧長=，

∴，

解得：r=；

（3）如圖丁，連接OH．

∵∠A=22.5°，

∴∠BOC=45°，

∵∠BOD=∠BOC=90°

設半徑OB=r，由勾股定理則有

化簡得r2=24（2﹣）

∵M、N是OB、OD的中點，

∵四邊形MNGH是矩形，

∴MN2=GH2=12（2﹣），EH2=EG2= MN2=3（2﹣）．

在Rt△HOE中，OE2=OH2﹣HE2，即OE2=r2﹣3（2﹣），

解得：OE2=21（2﹣），

∴下矩形的面積=（OE﹣OF）×MN= ，

∵扇形OBD的面積=，

∴圖中陰影部分的面積=-

=．