Question

【題目】已知∠α的頂點在正n邊形的中心點O處，∠α繞著頂點O旋轉，角的兩邊與正n邊 形的兩邊分別交于點M、N，∠α與正n邊形重疊部分面積為S．

（1）當n=4，邊長為2，∠α=90°時，如圖（1），請直接寫出S的值；

（2）當n=5，∠α=72°時，如圖（2），請問在旋轉過程中，S是否發生變化？并說明理由；

（3）當n=6，∠α=120°時，如圖（3），請猜想S是原正六邊形面積的幾分之幾（不必說明理由）．若∠α的平分線與BC邊交于點P，判斷四邊形OMPN的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）不變；（3），四邊形OMPN是菱形．

【解析】

（1）如圖1，連接對角線OA、OB，證明△AOM≌△BON（ASA），則S△AOM=S△BON， 所以S=S△ABO= S正方形ABCD= ×4=1；

（2）如圖2，在旋轉過程中，∠α與正n邊形重疊部分的面積S不變，連接OA、OB，同理證明△OAM≌△OBN，則S=S△OBN+S△OBM=S△OAM+S△OBM=S△OAB，故S的大小不變；

（3）如圖3，120°相當于兩個中心角，可以理解為一個中心角連續旋轉兩次，由前兩問的推理得，旋轉一個中心角時重疊部分的面積是原來正n邊形面積的 ，則S是原正六邊形面積的；也可以類比（1）（2）證明△OAM≌△OBN，利用割補法求出結論；

四邊形OMPN是菱形，

理由如下：如圖4，作∠α的平分線與BC邊交于點P，作輔助線構建全等三角形，同理證明△OAM≌△OBP≌△OCN，得△OMP和△OPN都是等邊三角形，則OM=PM=OP=ON=PN，根據四邊相等的四邊是菱形可得：四邊形OMPN是菱形．

（1）解：如圖1，連接OA、OB，

當n=4時，四邊形ABCD是正方形，

∴OA=OB，AO⊥BO，

∴∠AOB=90°，

∴∠AON+∠BON=90°，

∵∠MON=∠α=90°，

∴∠AON+∠AOM=90°，

∴∠BON=∠AOM，

∵O是正方形ABCD的中心，

∴∠OAM=∠ABO=45°，

在△AOM和△BON中，

∵ ，

∴△AOM≌△BON（ASA），

∴S△AOM=S△BON，

∴S△AOM+S△AON=S△BON+S△AON，

即S四邊形ANDM=S△ABO=S，

∵正方形ABCD的邊長為2，

∴S正方形ABCD=2×2=4，

∴S=S△ABO= S正方形ABCD= ×4=1；

（2）解：如圖2，在旋轉過程中，∠α與正n邊形重疊部分的面積S不變，

理由如下：連接OA、OB，

則OA=OB=OC，∠AOB=∠MON=72°，

∴∠AOM=∠BON，且∠OAB=∠OBC=54°，

∴△OAM≌△OBN，

∴四邊形OMBN的面積：S=S△OBN+S△OBM=S△OAM+S△OBM=S△OAB，

故S的大小不變；

（3）解：猜想：S是原正六邊形面積的，理由是：

如圖3，連接OB、OD，

同理得△BOM≌△DON，

∴S=S△BOM+S四邊形OBCN=S△DON+S四邊形OBCN=S四邊形OBCD= S六邊形ABCDEF；

四邊形OMPN是菱形，

理由如下：

如圖4，作∠α的平分線與BC邊交于點P，

連接OA、OB、OC、OD、PM、PN，

∵OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠MOP=∠PON=60°，

∴∠OAM=∠OBP=∠OCN=60°，∠AOM=∠BOP=∠CON，

∴△OAM≌△OBP≌△OCN，

∴OM=OP=ON，

∴△OMP和△OPN都是等邊三角形，

∴OM=PM=OP=ON=PN，

∴四邊形OMPN是菱形．