Question

【題目】某超市準備購進A、B兩種品牌臺燈，其中A每盞進價比B進價貴30元，A售價120元，B售價80元.已知用1040元購進的A數量與用650元購進B的數量相同.

（1）求A、B的進價；

（2）超市打算購進A、B臺燈共100盞，要求A、B的總利潤不得少于3400元，不得多于3550元，問有多少種進貨方案？

（3）在（2）的條件下，該超市決定對A進行降價促銷，A臺燈每盞降價m（8＜m＜15）元，B不變，超市如何進貨獲利最大？

Answer 1

【答案】（1）A進價80元，B進價50元；（2）16種；（3）當8<m<10時，A40盞，B60盞，利潤最大；當m=10時，A品牌燈數量在40至55間，利潤均為3000；當8<m<10時，A55盞，B45盞，利潤最大.

【解析】試題分析：（1）根據：“1040元購進的A品牌臺燈的數量=650元購進的B品牌臺燈數量”相等關系，列方程求解可得；

（2）根據：“3400≤A、B品牌臺燈的總利潤≤3550”不等關系，列不等式組，可知數量范圍，確定方案數；

（3）利用：總利潤=A品牌臺燈利潤+B品牌臺燈利潤，列出函數關系式，結合函數增減性，分類討論即可．

試題解析：（1）設A品牌臺燈進價為x元/盞，則B品牌臺燈進價為（x-30）元/盞，根據題意得

，

解得x=80，

經檢驗x=80是原分式方程的解．

則A品牌臺燈進價為80元/盞，

B品牌臺燈進價為x-30=80-30=50（元/盞），

答：A、B兩種品牌臺燈的進價分別是80元/盞，50元/盞．

（2）設超市購進A品牌臺燈a盞，則購進B品牌臺燈有（100-a）盞，根據題意，有

解得，40≤a≤55．

∵a為整數，

∴該超市有16種進貨方案．

（3）令超市銷售臺燈所獲總利潤記作w，根據題意，有

w=（120-m-80）a+（80-50）（100-a）

=（10-m）a+3000

∵8m15

∴①當8＜m＜10時，即10-m＜0，w隨a的增大而減小，

故當a=40時，所獲總利潤w最大，

即A品牌臺燈40盞、B品牌臺燈60盞；

②當m=10時，w=3000；

故當A品牌臺燈數量在40至55間，利潤均為3000；

③當10＜m＜15時，即10-m＞0，w隨a的增大而增大，

故當a=55時，所獲總利潤w最大，

即A品牌臺燈55盞、B品牌臺燈45盞.