Question

已知，在直角坐標系中，△ABO的位置如圖1，點O是坐標原點，點A的坐標為（-3，4），AB=AO，AB∥x軸交于y軸于點H．

（1）填空：點B的坐標（

2

，

4

   ），△ABO的面積是

10

．
（2）把△ABO沿直線OB翻折得到△CBO，連接AC交于y軸于點M，請在圖2 中畫出圖形，并判斷此時四邊形AOCB的形狀，說明理由．
（3）連接BM，動點P從點A出發，沿折線ABC方向向終點C勻速運動，點P的運動時間為t秒，點P的速度為每秒2個單位，設△PMB的面積為S（S≠0），求當t為何值時，S有最大值，并求出S的最大值．
（4）在（3）條件下，點P在運動過程中，當∠MPB+∠BCO=90°時，求直線OP與直線AC所夾銳角的正切值．

Answer 1

分析：（1）知道點A的坐標，由條件可以知道點B的橫坐標，作AT⊥x軸于點T，由勾股定理可以求出AO的值，從而求出HB就可以求出B點的坐標．
（2）根據軸對稱的性質，可以得到OC=OA，BC=AB，再由條件可以得到四邊都相等從而得出結論．
（3）根據題意求出C點的坐標，從而求出直線AC的解析式，再求出AC與y軸的交點坐標M，再根據點P在移動過程中的變化情況P在AB和AC上時求出其△PMB的面積解析式，最后求出結論．
（4）根據條件分為兩種情況，當P點AB上或P點在BC上證明三角形相似，由相似三角形的性質及菱形的性質求出相應的線段的長度，根據在直角三角形中的三角函數值的計算方法就可以求出兩種不同的位置時的直線OP與直線AC所夾銳角的正切值．

解答：解：（1）如圖1，作AT⊥x軸于點T，
∴∠ATO=90°，
∵A（-3，4），
∴AT=4，TO=3，在Rt△AOT中由勾股定理，得
AO=

9+16

=5．
∵AB=AO，
∴AO=5，
∴BH=2，
∵AB∥x軸，
∴B（2，4），S_△AOB=

5×4

2

=10
故答案為：（2，4），10．

（2）四邊形AOCB是菱形．
∵△ABO沿直線OB翻折得到△CBO，
∴OB垂直平分AC，
∴OC=OA，BC=AB，
∴OC=OA=BC=AB，
∴四邊形AOCB是菱形．

（3）∵OC=OA=5，
∴C（5，0），設直線AC的解析式為y=kx+b，則

0=5k+b 4=-3k+b

，解得，

k=- 1 2 b= 5 2

，
直線AC的解析式為：y=-

1

2

x+

5

2

，
∴當x=0時，y=

5

2

，
∴M（0，

5

2

），
∴OM=

5

2

，HM=

3

2

如圖2，當P點在AB邊上運動時，
∴S=

1

2

BP•HM=

1

2

（5-2t）×

3

2

=-

3

2

t+

15

4

（0≤t＜

5

2

）
∵-

3

2

＜0，
∴當t=0時，S有最大值

15

4

，
當t=

5

2

時，點P與B點重合，△PMB不存在，S=0．
∵四邊形AOCB是菱形，
∴MB=MO，∠MBC=∠MOC=90°，
如圖3，當P點在BC邊上運動時，
∴S=

1

2

BP•BM=

1

2

（2t-5）×

5

2

，
S=

5

2

t-

25

4

（

5

2

＜t≤5）
∵

5

2

＞0，
∴當t=5時，S有最大值

25

4

，
綜上所述，當t=5時，S有最大值

25

4

．

（4）設OP與AC相交于F，連接OB交AC于點D．
∵四邊形AOCB是菱形，
∴∠AOC=∠ABC，∠BOC=∠ABO，∠BAO=∠BCO，
∴∠AOM=∠ABM．
∵∠MPB+∠BCO=90°，
∴∠MPB+∠BAO=90°
∵∠BAO+∠AOM=90°
∴∠MPB=∠AOM=∠ABM．
如圖4，當點P在AB上運動時，
∵∠MPB=∠ABM．，OH⊥AB
∴PH=HB=5-3=2，PA=1，
∴t=

1

2

∵△AFP∽△CFO，
∴

AF

CF

=

AP

CO

=

1

5

，
∴AF=

1

6

AC
在Rt△AEC和△OBH中，由勾股定理，得
AC=4

5

，OB=2

5

，
∴AF=

1

6

×4

5

=

2

3

5

，
∴CF=

10

3

5

，
∵四邊形ABCO是菱形，
∴AC⊥OB，OD=BD=

5

，AD=CD=2

5

，
∴FD=2

5

-

2

3

5

=

4

3

5

，
∴tan∠OFC=

OD

FD

=

5

4 3 5

=

3

4

如圖5，當P在BC上運動時，
∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB+∠BMP=90°，∠MPB+∠BCO=90°，
∴∠BMP=∠BCO=∠BAO，
∵∠AOM=∠ABM，且∠ABM+∠BMH=90°，∠AOM+∠BAO=90°，
∴∠BMH=∠BAO=∠BCO=∠BMP，即∠BMH=∠BMP，
∴△BHM∽△PBM，
∴

HB

PB

=

HM

BM

，
∴

2

PB

=

3 2

5 2

，
∴BP=

10

3

，
∴PC=5-

10

3

=

5

3

，
∴t=

5+ 10 3

2

=

25

6

，
∵PC∥OA，
∴△PFC∽△OFA，
∴

CF

AF

=

PC

OA

=

5 3

5

=

1

3

，
∴CF=

1

4

AC=

5

，
∴FD=CD-CF=2

5

-

5

=

5

，
∴tan∠OFD=

OD

DF

=

5

5

=1
綜上所述，當t=

1

2

時，直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為

3

4

，當t=

25

6

時，直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為1

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，坐標與圖形的性質，待定系數法求一次函數的解析式，菱形的判定，圖形的翻折變換，銳角三角函數的運用及勾股定理的運用．