Question

如圖①，有兩個形狀相同但大小不同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點A與點E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜邊上的中點，如圖②，若整個△EFG從圖①的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿射線AB方向平移，在△EFG平移的同時，點p從△EFG的頂點G出發(fā)，以1cm/s的速度在直角邊GF上向點F運動，當(dāng)點P到達(dá)點F時，點P停止運動，△EFG也隨之停止平移，設(shè)運動時間為x（s），F(xiàn)G的延長線交AC于H，（不考慮點P與G、F重合的情況）
（1）當(dāng)x為何值時，OP∥AC？
（2）你能不能用含x的式子來表示四邊形OAHP面積呢？若能，請表示；若不能，請說理由．
（3）是否存在某一時刻，使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)O是EF中點，因此當(dāng)P為FG中點時，OP∥EG∥AC，據(jù)此可求出x的值．
（2）由四邊形AHPO的面積S_△AFH-S_△OPF的面積差來得出四邊形AHPO的面積．三角形AHF中，AH的長可用AF的長和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表達(dá)式．△OFP中，可過O作OD⊥FP于D，PF的長易知，而OD的長，可根據(jù)OF的長和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）先求出三角形ABC和四邊形OAHP的面積，然后將其代入（2）的函數(shù)式中即可得出x的值．

解答：解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC
∴

EG

AC

=

FG

BC

，
∴

4

8

=

FG

6

，
∴FG=3cm
∵當(dāng)P為FG的中點時，OP∥EG，EG∥AC
∴OP∥AC
∴x=

1 2 FG

1

=

1

2

×3=1.5s
∴當(dāng)x為1.5s時，OP∥AC．

（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得：
EF=

9+16

=5cm
∵EG∥AH
∴△EFG∽△AFH
∴

EG

AH

=

EF

AF

=

FG

FH

∴AH=

4

5

（x+5），F(xiàn)H=

3

5

（x+5）
過點O作OD⊥FP，垂足為D
∵點O為EF中點
∴OD=

1

2

EG=2cm
∵FP=3-x
∴S_{四邊形OAHP}=S_△AFH-S_△OFP
=

1

2

AH•FH-

1

2

•OD•FP
=

1

2

×

4

5

（x+5）

3

5

（x+5）-

1

2

×2×（3-x）
=

6

25

x²+

17

5

x+3（0＜x＜3）．

（3）假設(shè)存在某一時刻x，使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24
則S_{四邊形OAHP}=

13

24

×S_△ABC
∴

6

25

x²+

17

5

x+3=

13

24

×

1

2

×6×8
∴6x²+85x-250=0
解得x₁=

5

2

，x₂=-

50

3

（舍去）
∵0＜x＜3
∴當(dāng)x=

5

2

（s）時，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，在解答時靈活運用相似三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式求解是關(guān)鍵．