Question

友情提示：本題有A、B兩題，請你任選一題作答，A題滿分9分，B題滿分12分．若兩題都做，只能按A題評分．
（A題）如圖所示，四邊形OABC與ODEF均為正方形，CF交OA于P，交DA于Q．
（1）求證：AD=CF．
（2）AD與CF垂直嗎？說說你的理由．
（3）當正方形ODEF繞O點在平面內旋轉時，（1），（2）的結論是否有變化（不需說明理由）．

（B題）如圖所示，用兩個全等的正方形ABCD和CDFE拼成一矩形ABEF，把一個足夠大的直角三角尺的直角頂點與這個矩形的邊AF的中點D重合，且將直角三角尺繞點D按逆時針方向旋轉．



（1）當直角三角尺的兩直角邊分別與矩形ABEF的兩邊BE、EF相交于點G、H時，通過觀察或測量BG與EH的長度，你能得到什么結論？并證明你的結論．
（2）當直角三角尺的兩直角邊分別與BE的延長線、EF的延長線相交于點G、H時，你在（1）中得到的結論還成立嗎？請畫出圖形并簡要說明理由．

Answer 1

（A題）
（1）證明：∵四邊形OABC與ODEF均為正方形，
∴AO=CO，∠AOC=∠DOF=90°，OD=OF，
∴∠AOD=∠COF，
∴△AOD≌△COF，
∴AD=CF．
（2）AD⊥CF
理由為：∵△AOD≌△COF，
∴∠OCF=∠OAD，
∴∠APQ+∠OAD=∠OCF+∠CPO=90°，
∴∠AQP=90°，
即AD⊥CF．
（3）當正方形ODEF繞O點在平面內旋轉時，（1）（2）的結論不會發生變化．

（B題）

（1）BG=EH，
∵四邊形ABCD和CDFE都是正方形，
∴DC=DF，∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°，
∵∠CDG+∠CDH=∠CDH+∠FDH=90°，
∴∠CDG=∠FDH，
∴△CDG≌△FDH，
∴CG=FH，
∵BC=EF，
∴BG=EH．

（2）結論BG=EH仍然成立．
同理可證△CDG≌△FDH，
∴CG=FH，
∵BC=EF，
∴BG=EH．