Question

如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF是梯形的中位線，DH為梯形的高，則下列結論正確的有

 

．（填序號之間不用符號，如①②）
①四邊形EHCF為菱形；②∠BCD=60°；③S_△BEH=

1

2

S_△CEH；④以AB為直徑的圓與CD相切于點F．

Answer 1

分析：根據已知對各個結論進行分析從而得到最后答案．

解答：解：①正確
∵EF=2，BH=AD=1
∴CH=2
∴即四邊形EFCH是平行四邊形
∵CF=2=EF
∴四邊形EHCF為菱形；
②正確，在直角三角形CDH中，CH=2，CD=4，則∠CDH=30°，∴∠BCD=60°；
③正確，因為BH=

1

2

CH，所以S_△BEH=

1

2

S_△CEH；
④不正確，根據以上的證明只能得出以AB為直徑的圓與CD相切于點G，而不切于點F，
因為EF=2，而圓的半徑為根號3，
所以以AB為直徑的圓不可能與點F相切．
④不正確，
∵以AB為直徑的圓
∴圓心是E，半徑是AB的一半
作EG⊥CD于G
∴∠ECG=30°
∴CE=2EG
∵在直角三角形BCE中，∠BCE=30°
∴CE=2BE=AB
∴AB=2EG
∴以AB為直徑的圓與CD相切于點F；
故答案為：①②③．

點評：此類題的綜合性較強，要非常熟悉特殊四邊形的性質以及直角三角形的性質和梯形的中位線定理．