Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y= x2+bx﹣ 的圖象與x軸交于點A（﹣3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E．

（1）請直接寫出點D的坐標：；
（2）當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；
（3）是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（﹣3，4）
（2）

解：設(shè)PA=t，OE=l

由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE

∴

∴l(xiāng)=﹣ + =﹣ （t﹣ ）2+

∴當t= 時，l有最大值

即P為AO中點時，OE的最大值為

（3）

解：存在．

①點P點在y軸左側(cè)時，DE交AB于點G，

P點的坐標為（﹣4，0），

∴PA=OP﹣AO=4﹣3=1，

由△PAD≌△EOP得OE=PA=1

∵△ADG∽△OEG

∴AG：GO=AD：OE=4：1

∴AG= =

∴重疊部分的面積= =

②當P點在y軸右側(cè)時，P點的坐標為（4，0），

此時重疊部分的面積為

【解析】（1）將點A的坐標代入二次函數(shù)的解析式求得其解析式，然后求得點B的坐標即可求得正方形ABCD的邊長，從而求得點D的縱坐標；（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，從而得到有關(guān)兩個變量的二次函數(shù)，求最值即可；（3）分點P位于y軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論即可得到重疊部分的面積．