Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個公共點A，經過點A的直線交該拋物線于點B，交y軸于點C，且點C是線段AB的中點．

（1）求這條拋物線對應的函數解析式；

（2）求直線AB對應的函數解析式．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x+1；（2）y=2x+2．

【解析】

試題分析：（1）拋物線與x軸僅有1個交點可知△=0時，即可得到4a2﹣4a=0，解方程即可求得a，即可得到拋物線解析式；（2）先求得A的坐標，已知點C是線段AB的中點，可判定點A與點B的橫坐標互為相反數，再確定B點坐標，最后利用待定系數法求直線AB的解析式．

試題解析：

（1）∵拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個公共點A，

∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，

∴拋物線解析式為y=x2+2x+1；

（2）∵y=（x+1）2，

∴頂點A的坐標為（﹣1，0），

∵點C是線段AB的中點，

即點A與點B關于C點對稱，

∴B點的橫坐標為1，

當x=1時，y=x2+2x+1=1+2+1=4，則B（1，4），

設直線AB的解析式為y=kx+b，

把A（﹣1，0），B（1，4）代入得，解得，

∴直線AB的解析式為y=2x+2．