Question

如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求證：AC=BF．

Answer 1

有兩種解法：
①延長AD至點M，使MD=FD，連接MC，則可證△BDF≌△CDM（SAS），可得MC=BF，∠M=∠BFM，再得∠M=∠MAC，得AC=MC=BF．
②延長AD至點M，使DM=AD，連接BM，可證△ADC≌△MDB（SAS），方法與①相同．

試題分析：有兩種解法：
①延長AD至點M，使MD=FD，連接MC，則可證△BDF≌△CDM（SAS），可得MC=BF，∠M=∠BFM，再得∠M=∠MAC，得AC=MC=BF．
②延長AD至點M，使DM=AD，連接BM，可證△ADC≌△MDB（SAS），方法與①相同．
證明：方法一：延長AD至點M，使MD=FD，連接MC，
在△BDF和△CDM中，

∴△BDF≌△CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC，
∴AC=MC，
∴BF=AC；
方法二：延長AD至點M，使DM=AD，連接BM，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴∠M=∠MAC，BM=AC，
∵EA=EF，
∴∠CAM=∠AFE，而∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠BFM，
∴BM=BF，
∴BF=AC．


點評：本題考查了三角形全等的判定及性質、等腰三角形的性質．其中普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，解決此題的關鍵是作出巧妙的輔助線：倍長中線．