Question

【題目】已知，直線AB∥DC，點P為平面上一點，連接AP與CP．
（1）如圖1，點P在直線AB、CD之間，當∠BAP=60°，∠DCP=20°時，求∠APC．

（2）如圖2，點P在直線AB、CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，寫出∠AKC與∠APC之間的數量關系，并說明理由．

（3）如圖3，點P落在CD外，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，∠AKC與∠APC有何數量關系？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，過P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；

（2）解：∠AKC= ∠APC．

理由：如圖2，過K作KE∥AB，

∵AB∥CD，

∴KE∥AB∥CD，

∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，

∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，

過P作PF∥AB，

同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，

∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，

∴∠BAK+∠DCK= ∠BAP+ ∠DCP= （∠BAP+∠DCP）= ∠APC，

∴∠AKC= ∠APC；

（3）解：∠AKC= ∠APC．

理由：如圖3，過K作KE∥AB，

∵AB∥CD，

∴KE∥AB∥CD，

∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，

∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK，

過P作PF∥AB，

同理可得，∠APC=∠BAP﹣∠DCP，

∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，

∴∠BAK﹣∠DCK= ∠BAP﹣ ∠DCP= （∠BAP﹣∠DCP）= ∠APC，

∴∠AKC= ∠APC．

【解析】（1）先過P作PE∥AB，根據平行線的性質即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根據∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP進行計算即可；（2）過K作KE∥AB，平行公理的推理可得到KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，進而得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根據角平分線的定義得出∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP，進而可得到問題的答案；
（3）過K作KE∥AB，依據平行公理的推理可得到KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，進而得到∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP-∠DCP，再根據角平分線的定義，得出∠BAK-∠DCK=∠BAP-∠DCP=（∠BAP-∠DCP）=∠APC，進而得到∠AKC=∠APC.
【考點精析】認真審題，首先需要了解平行線的性質(兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補)．