Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個公共點A，經過點A的直線交該拋物線于點B，交y軸于點C，且點C是線段AB的中點．

（1）求這條拋物線對應的函數解析式；
（2）求直線AB對應的函數解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個公共點A，

∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，

∴拋物線解析式為y=x2+2x+1；

（2）

解：∵y=（x+1）2，

∴頂點A的坐標為（﹣1，0），

∵點C是線段AB的中點，

即點A與點B關于C點對稱，

∴B點的橫坐標為1，

當x=1時，y=x2+2x+1=1+2+1=4，則B（1，4），

設直線AB的解析式為y=kx+b，

把A（﹣1，0），B（1，4）代入得 ，解得 ，

∴直線AB的解析式為y=2x+2

【解析】（1）利用△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點得到4a2﹣4a=0，然后解關于a的方程求出a，即可得到拋物線解析式；（2）利用點C是線段AB的中點可判斷點A與點B的橫坐標互為相反數，則可以利用拋物線解析式確定B點坐標，然后利用待定系數法求直線AB的解析式．本題考查了拋物線與x軸的交點：對于二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0），△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數：△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．也考查了利用待定系數法求函數解析式．
【考點精析】利用確定一次函數的表達式和拋物線與坐標軸的交點對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．