Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與x軸相交于點A（﹣3，0）、B（﹣1，0），與y軸相交于點C（0，3），點P是該圖象上的動點；一次函數y=kx﹣4k（k≠0）的圖象過點P交x軸于點Q．

（1）求該二次函數的解析式；
（2）當點P的坐標為（﹣4，m）時，求證：∠OPC=∠AQC；
（3）點M，N分別在線段AQ、CQ上，點M以每秒3個單位長度的速度從點A向點Q運動，同時，點N以每秒1個單位長度的速度從點C向點Q運動，當點M，N中有一點到達Q點時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒．
①連接AN，當△AMN的面積最大時，求t的值；
②直線PQ能否垂直平分線段MN？若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請說明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x+1），

∵拋物線經過點C（0，3），

∴3=a×3×1，解得a=1．

∴拋物線的解析式為：y=（x+3）（x+1）=x2+4x+3

（2）

證明：在拋物線解析式y=x2+4x+3中，當x=﹣4時，y=3，∴P（﹣4，3）．

∵P（﹣4，3），C（0，3），

∴PC=4，PC∥x軸．

∵一次函數y=kx﹣4k（k≠0）的圖象交x軸于點Q，當y=0時，x=4，

∴Q（4，0），OQ=4．

∴PC=OQ，又∵PC∥x軸，

∴四邊形POQC是平行四邊形，

∴∠OPC=∠AQC

（3）

解：①在Rt△COQ中，OC=3，OQ=4，由勾股定理得：CQ=5．

如答圖1所示，過點N作ND⊥x軸于點D，則ND∥OC，

∴△QND∽△QCO，

∴ ，即 ，解得：ND=3﹣ t．

設S=S△AMN，則：

S= AMND= 3t（3﹣ t）=﹣ （t﹣ ）2+ ．

又∵AQ=7，∴點M到達終點的時間為t= ，

∴S=﹣ （t﹣ ）2+ （0＜t≤ ）．

∵﹣ ＜0， ＜ ，且x＜ 時，y隨x的增大而增大，

t=2.5時已超過運動時間又因為開口向下所以取 ，

∴當t= 時，△AMN的面積最大．

②假設直線PQ能夠垂直平分線段MN，則有QM=QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC．

由QM=QN，得：7﹣3t=5﹣t，解得t=1．

設P（x，x2+4x+3），

若直線PQ⊥MN，則：過P作直線PE⊥x軸，垂足為E，

則△PEQ∽△MDN，

∴ ，

∴

∴x= ，

∴P（ ， ）或（ ， ）

∴直線PQ能垂直平分線段MN

【解析】（1）利用交點式求出拋物線的解析式；（2）證明四邊形POQC是平行四邊形，則結論得證；（3）①求出△AMN面積的表達式，利用二次函數的性質，求出△AMN面積最大時t的值．注意：由于自變量取值范圍的限制，二次函數并不是在對稱軸處取得最大值；②直線PQ上的點到∠AQC兩邊的距離相等，則直線PQ能平分∠AQC，所以直線PQ能垂直平分線段MN．