Question

【題目】在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長為的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．

（1）小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，請你幫他說明理由；

（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí)，請你幫他求出此時(shí)BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）+

【解析】分析：（1）延長EB交DG于點(diǎn)H，先證出Rt△ADG≌Rt△ABE，得出∠AGD=∠AEB，再根據(jù)∠HBG=∠EBA，得出∠HGB+∠HBG=90°即可；

（2）過點(diǎn)A作AP⊥BD交BD于點(diǎn)P，根據(jù)△DAG≌△BAE得出DG=BE，根據(jù)AD=2∠PDA=45°，∠APD=90°，求出AP、DP，利用勾股定理求出PG，再根據(jù)DG=DP+PG求出DG，最后根據(jù)DG=BE即可得出答案．

詳解：（1）如圖1，延長EB交DG于點(diǎn)H，

∵ABCD和AEFG為正方形，

∴在Rt△ADG和Rt△ABE中，

，

∴Rt△ADG≌Rt△ABE，

∴∠AGD=∠AEB，

∵∠HBG=∠EBA，

∴∠HGB+∠HBG=90°，

∴DG⊥BE；

（2）如圖2，過點(diǎn)A作AP⊥BD交BD于點(diǎn)P，

∵ABCD和AEFG為正方形，

∴在△DAG和△BAE中，

，

∴△DAG≌△BAE（SAS），

∴DG=BE，

∵AD=2∠PDA=45°，∠APD=90°，

∴AP=DP=，

∵AG=2，∴PG==，

∴DG=DP+PG=+，

∵DG=BE，∴BE=+．