Question

【題目】如圖①是一張矩形紙片, , .在邊上取一點，在邊上取一點，將紙片沿折疊，使與交于點，得到，如圖②所示.

（1）若，求的度數.

（2） 的面積能否小于?若能，求出此時的度數;若不能，試說明理由.

（3）如何折疊能夠使的面積最大?請你畫圖探究可能出現的情況，求出最大值.

Answer 1

【答案】（1） 40°．（2） △MNK的面積不能小于；理由見解析；（3）1.3

【解析】

試題分析：（1）證明∠MKN=∠KMA；證明∠KMN=∠1=70°，即可解決問題．

（2）如圖1，作輔助線；證明MK＞1；證明NK=MK＞1，運用三角形的面積公式即可解決問題．

（3）如圖2，證明MK=MQ（設為λ），得到AM=5-λ；列出關于λ的方程（5-λ）2+12=λ2，求出λ即可解決問題．

試題解析：（1）如圖1，∵四邊形ABCD為矩形，

∴DN∥AM，∠MKN=∠KMA；

由題意得：∠KMN=∠1=70°，

∴∠KMA=180°-140°=40°，

∴∠MKN=40°．

（2）△MNK的面積不能小于；理由如下：

如圖1，過點M作MP⊥KN；則MP=1；

由題意得MK＞1，∠KMN=∠1；

∵KN∥AM，

∴∠KNM=∠1，∠KMN=∠KNM，

∴NK=MK＞1，

∴S△MNK=NK×MP＞．

（3）如圖2，當點B與點D重合時，△MNK的面積最大；

由題意得：MK=MQ（設為λ），則AM=5-λ；

由勾股定理得：（5-λ）2+12=λ2，

解得：λ=2.6；由（1）知：

NK=MK=2.6，MP=1，

∴S△MNK=NK×MP =1.3．