Question

【題目】如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A=2∠C．

（1）若∠C=38°，則∠ABD=　　　　　　；

（2）求證：BC=AB+AD；

（3）求證：BC2=AB2+ABAC．

Answer 1

【答案】（1）33°；（2）證明見解析.（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）在BC上截取BE=AB，利用“邊角邊”證明△ABD和△BED全等，根據全等三角形對應邊相等可得DE=AD，全等三角形對應角相等可得∠AED=∠A，然后求出∠C=∠CDE，根據等角對等邊可得CE=DE，然后結合圖形整理即可得證；

（2）由（1）知：△ABD≌△BED，根據全等三角形對應邊相等可得DE=AD，全等三角形對應角相等可得∠AED=∠A，然后求出∠C=∠CDE，根據等角對等邊可得CE=DE，等量代換得到EC=AD，即得答案BC=BE+EC=AB+AD；

（3）為了把∠A=2∠C轉化成兩個角相等的條件，可以構造輔助線：在AC上取BF=BA，連接AE，根據線段的垂直平分線的性質以及三角形的內角和定理的推論能夠證明AB=F．再根據勾股定理表示出BC2，AB2．再運用代數中的公式進行計算就可證明．

試題解析：（1）在BC上截取BE=BA，如圖1，

在△ABD和△BED中，

,

∴△ABD≌△BED，

∴∠BED=∠A，

∵∠C=38°，∠A=2∠C，

∴∠A=76°，

∴∠ABC=180°﹣∠C﹣∠A=66°，

BD平分∠ABC，

∴∠ABD=33°；

（2）由（1）知：△ABD≌△BED，

∴BE=AB，DE=AD，∠BED=∠A，

又∵∠A=2∠C，

∴∠BED=∠C+∠EDC=2∠C，

∴∠EDC=∠C，

∴ED=EC，

∴EC=AD

∴BC=BE+EC=AB+AD；t

（3）如圖2，過B作BG⊥AC于G，

以B為圓心，BA長為半徑畫弧，交AC于F，

則BF=BA，

在Rt△ABG和Rt△GBG中，

，

∴Rt△ABG≌Rt△GBG，

∴AG=FG，

∴∠BFA=∠A，

∵∠A=2∠C，

∴∠BFA=∠FBC+∠C=2∠C，

∴∠FBC=∠C，

∴FB=FC，

FC=AB，

在Rt△ABG和Rt△BCG中，

BC2=BG2+CG2，

AB2=BG2+AG2

∴BC2﹣AB2=CG2﹣AG2=（CG+AG）（CG﹣AG）

=AC（CG﹣GF）=ACFC

=ACAB．