Question

已知關于x的二次函數y=x²-（2m-1）x+m²
（1）m滿足什么條件時，二次函數的圖象與x軸有兩個交點？
（2）設二次函數的圖象與x軸的交點為A（x₁，0），B（x₂，0），且

x

2 1

+

x

2 2

=5，它的頂點為M，求頂點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）當二次函數與x軸有兩個交點，則有相關一元二次方程△＞0，解不等式即可求出m的取值范圍；
（2）將

x

2 1

+

x

2 2

=5配方，結合根與系數的關系，列出關于m的方程，求出m的值，得到二次函數的解析式，從而求出其頂點坐標．

解答：解：（1）∵二次函數的圖象與x軸有兩個交點，則△＞0，即[-（2m-1）²-4m²]＞0，
解得m＜

1

4

；

（2）∵且

x

2 1

+

x

2 2

=5，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
∴（2m-1）²-2m²=5，
解得m₁=1+

3

（大于

1

4

，舍去）；m₂=1-

3

．
則函數解析式為y=x²-（1-2

3

）x+4-2

3

，
則其頂點坐標為（

1-2 3

2

，

3-4 3

4

）．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點及一元二次方程根與系數的關系，將函數問題轉化為方程問題是解題的關鍵．