Question

如圖①，將兩個等腰直角三角形疊放在一起，使上面三角板的一個銳角頂點與下面三角板的直角頂點重合，并將上面的三角板繞著這個頂點逆時針旋轉，在旋轉過程中，當下面三角板的斜邊被分成三條線段時，我們來研究這三條線段之間的關系．
（1）實驗與操作：
如圖②，如果上面三角板的一條直角邊旋轉到CM的位置時，它的斜邊恰好旋轉到CN的位置，請在網格中分別畫出以AM、MN和NB為邊長的正方形，觀察這三個正方形的面積之間的關系；
（2）猜想與探究：
如圖③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB邊上的點，∠MCN=45°，作DA⊥AB于點A，截取DA=NB，并連接DC、DM．
我們來證明線段CD與線段CN相等．
∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于點A，
∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
又∵DA=NB，BC=AC，
∴△CAD≌△CBN．
∴CD=CN．

請你繼續解答：
①線段MD與線段MN相等嗎？為什么？
②線段AM、MN、NB有怎樣的數量關系，為什么？
（3）拓廣與運用：
如圖④，已知線段AB上任意一點M（AM＜MB），是否總能在線段MB上找到一點N，使得分別以AM與BN為邊長的正方形的面積的和等于以MN為邊長的正方形的面積？若能，請在圖④中畫出點N的位置，并簡要說明作法；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖所示：以AM為邊的正方形的面積加上以BN為邊的正方形的面積等于移NM為邊的正方形的面積． ．

（2）①線段MD與線段MN相等．
理由是：在△CDM和△CNM中
，
∴△CDM≌△CNM，
∴MD=MN．

②AM²+NB²=MN²，
理由是：∵在Rt△DAM中，AM²+DA²=DM²，
又∵DA=NB，MD=MN，
∴AM²+NB²=MN²．

（3）能在線段MB上找到點N，作法如下：

作AC=BC，且∠ACB=90°，連接CM，作∠MCN=45°，交AB于點N．
分析：（1）根據題意畫出圖形即可；
（2）①根據SAS證△CDM≌△CNM即可；②根據勾股定理推出AM²+DA²=DM²，把DA=NB，MD=MN代入求出即可；
（3）根據③圖形，作等腰直角三角形ACB，∠ACB=90°，在∠ACB內部作∠MCN=45°即可．
點評：本題綜合考查了勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質等知識點的應用，關鍵是考查學生能根據題意得出規律，題型較好，有一定的難度．