Question

如圖，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA、OC是方程

2

x

=

9-x

10

的兩個根（OA＞OC），在AB邊上取一點D，將紙片沿CD翻折，使點B恰好落在OA邊上的點E處．
（1）求OA、OC的長；
（2）求D、E兩點的坐標；
（3）若線段CE上有一動點P自C點沿CE方向向E點勻速運動（點P運動到點E后停止運動），運動的速度為每秒1個單位長度，設運動的時間為t秒，過P點作ED的平行線交CD于點M．是否存在這樣的t 值，使以C、E、M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出t值及相應的時刻點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據OA、OC是方程

2

x

=

9-x

10

的兩個根（OA＞OC）即可得出OA、OC的長；
（2）由（1）知OA=5，OC=4，再根據圖形翻折變換的性質得出CE=BC=5，∠CED=∠B=90°，DE=BD，Rt△OCE中利用勾股定理即可求出OE的長，進而得出E點坐標，設BD=x，則AD=4-x，DE=x，在Rt△ADE中利用勾股定理求出x的值，故可得出D點坐標；
（3）當CM=ME時，由三角形的中位線定理可得出點P是CE的中點，故可得出M點的坐標及t的值；當CM=CE時，過點M作MF⊥BC于點F，交x軸于點E，先由兩點間的距離公式求出CD的長，由相似三角形的判定定理得出△CMF∽△CDB，故可得出MF、CF的長，由此得出M點的坐標，再根據△CPM∽△CED可得出CP的長，進而得出t的值．

解答：解：（1）∵解方程

2

x

=

9-x

10

得，x₁=4，x₂=5，
經檢驗x₁=4，x₂=5均是原方程的解，
∵OA＞OC，
∴OA=5，OC=4；

（2）∵由（1）知OA=5，OC=4，
∴BC=OA=5，AB=OC=4，
∵△CED由△CBD翻折而成，
∴CE=BC=5，∠CED=∠B=90°，DE=BD，
在Rt△OCE中，
∵OC=4，CE=5，
∴OE=

CE2-OC2

=

52-42

=3，
∴E（3，0）；
∴AE=OA-OE=5-3=2，
設BD=x，則AD=4-x，DE=x，
在Rt△ADE中，DE²=AD²+AE²，即x²=（4-x）²+2²，解得x=

5

2

，
∴AD=4-

5

2

=

3

2

，
∴D（5，

3

2

）；

（3）如圖1，當CM=ME時，
∵MP∥DE，∠CED=90°，
∴MP⊥CE，
∴點P是CE的中點，
∴t=PC=

1

2

CE=

1

2

×5=

5

2

；
∴PM是△CED的中位線，
∴M是CD的中點，
∵C（0，4），D（5，

3

2

），
∴M（

5

2

，

11

4

）；
如圖2，當CM=CE時，
過點M作MF⊥BC于點F，交x軸于點E，
∵C（0，4），D（5，

3

2

）
∴CD=

52+(4- 3 2 )2

=

5 5

2

，
∵MF⊥BC，AB⊥BC，
∴△CMF∽△CDB，
∴

CM

CD

=

MF

BD

=

CF

BC

，即MF=

CM•BD

CD

=

5× 5 2

5 3 2

=

5 5

3

，CF=

CM•BC

CD

=

5×5

5 5 2

=

10 5

3

，
∴ME=4-MF=4-

5 5

3

，
∴M（

10 5

3

，4-

5 5

3

），
∵PM∥DE，
∴△CPM∽△CED，
∴

CP

CE

=

CM

CD

，即CP=

CE•CM

CD

=

5×5

5 5 2

=

10 5

3

，
∴t=CP=

10 5

3

．

點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到解分式方程、勾股定理、等腰三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質及矩形的性質，先根據題意得出OA、OC的長是解答此題的關鍵．