Question

如圖，AP∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的延長線交AP于D．
（1）求證：AB=AD+BC；
（2）若BE=3，AE=4，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

（1）證明：延長AE交BC的延長線于M，
∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AD∥BC
∴∠1=∠M=∠2，∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∴BM=BA，∠3+∠2=90°，
∴BE⊥AM，
在△ABE和△MBE中，
∴△ABE≌△MBE
∴AE=ME，
在△ADE和△MCE中，；
∴△ADE≌△MCE，
∴AD=CM，
∴AB=BM=BC+AD．

（2）解：由（1）知：△ADE≌△MCE，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABM
又∵AE=ME=4，BE=3，
∴，
∴S_{四邊形ABCD}=12．
分析：（1）此題要通過構造全等三角形來求解，延長AE交BC的延長線于M；由AP∥BC，及AE平分∠PAB，可求得∠BAE=∠M，即AB=BM，因此直線證得AD=MC即可；在等腰△ABM中，BE是頂角的平分線，根據等腰三角形三線合一的性質知：E是AM的中點，即AE=EM，而PA∥BM，即可證得△ADE≌△MCE，從而得到所求的結論．
（2）由（1）的全等三角形可知：△ADE、△MCE的面積相等，從而將所求四邊形的面積轉化為等腰△ABM的面積，易得AM、BE的值，從而根據三角形的面積公式求得△ABM的面積，即四邊形ADCB的面積．
點評：此題主要考查的是全等三角形的判定和性質，同時還涉及了角平分線定義、平行線的性質以及等腰三角形的性質，正確地構造出全等三角形是解答此題的關鍵．