Question

在數學學習過程中，通常是利用已有的知識與經驗，通過對研究對象進行觀察、實驗、推理、抽象概括，發現數學規律，揭示研究對象的本質特征．
比如“同底數冪的乘法法則”的學習過程是利用有理數的乘方概念和乘法結合律，由“特殊”到“一般”進行抽象概括的：2²×2³=2⁵，2³×2⁴=2⁷，2²×2⁶=2⁸…?2^m×2ⁿ=2^m+n…?a^m×aⁿ=a^m+n（m、n都是正整數）．
我們亦知：

2

3

＜

2+1

3+1

，

2

3

＜

2+2

3+2

，

2

3

＜

2+3

3+3

，

2

3

＜

2+4

3+4

…
（1）請你根據上面的材料歸納出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之間的一個數學關系式．
（2）試用（1）中你歸納的數學關系式，解釋下面生活中的一個現象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不飽和），則糖水更甜了”．

Answer 1

分析：（1）根據題意歸納出一般性式子，利用作差法證明即可；
（2）利用（1）得出的結論說明糖水更甜了即可．

解答：解：（1）根據所給的式子之間的關系，可以用a、b、c的數學關系式表示出一般的規律

b

a

＜

b+c

a+c

，
驗證：

b+c

a+c

-

b

a

=

a(b+c)-b(a+c)

a(a+c)

=

ab+ac-ab-bc

a(a+c)

=

c(a-b)

a(a+c)

，
∵a＞b＞0，c＞0，
∴

c(a-b)

a(a+c)

＞0，
∴

b

a

＜

b+c

a+c

；
（2）∵

n

m

＜

n+k

m+k

，
∴原來糖水中糖的質量分數

n

m

小于加入k克糖后糖水中糖的質量分數

n+k

m+k

，
則糖水更甜了．

點評：此題考查了分式加減法的應用，弄清題意是解本題的關鍵．